Das Atom klingt
(Mit einer Umformung der Rydbergformel zur Berechnung der Spektralserien aus einer Obertonreihe)

Im Wasserstoffatom schwingt ein negativ geladenes Elektron um den positiv geladenen Atomkern. Das Elektron schwingt in gestuften Energieniveaus, die man in dem von Rutherford entwickelten Teilchenmodell, Bahnen oder Schalen nennt. Ein Elektron kann immer nur von einer Bahn in eine Andere springen. Dabei gibt das Elektron Energie ab, wenn es in eine niedrigere oder nimmt Energie auf, wenn es in eine höhere Bahn springt. Die Energieniveaus werden in den sogenannten Quantenzahlen beschrieben. Die Hauptquantenzahl gibt die primären Energiestufen n=1 bis n=7 an (Siehe Bild D1). Diese Energiestufen verhalten sich wie ganze Zahlen zueinander, es gibt also keine Zwischenwerte. Man spricht daher von einem Quantensprung, wenn ein Elektron sein Energieniveau wechselt.

Neben den gebundenen Elektronen gibt es auch freie Elektronen, die das Atom verlassen haben. Elektrischer Strom besteht aus solchen freien Elektronen. Geringfügige Mengen freier Elektronen gibt es in beinahe jedem Stoff, ob gasförmig, flüssig oder fest. Schlägt ein solches freies Elektron in eine Elektronenhülle ein, so wird das im Atom ge-bundene Elektron angeregt. Es nimmt die Bewegungsenergie des ankommenden Elek-trons auf und wechselt auf ein höheres Energieniveau. Nach Bruchteilen einer Sekunde fällt es wieder auf ein niedrigeres Energieniveau zurück und gibt dabei eine definierte, ebenfalls gestufte Energie in Form eines Lichtquants (1), genauer elektromagnetische Strahlung ab. Das Atom blitzt gewissermaßen kurz auf. Geschieht das oft genug, dann beginnt der Stoff zu leuchten. Diesen Effekt nutzt man beispielsweise in Glühlampen und Leuchtstoffröhren. Man leitet gezielt Strom durch einen Stoff, bei der Glühlampe ist es Glühdraht, bei der Leuchtstoffröhre ist es ein Gas. Da der Strom aus Elektronen besteht, werden viele Atome zum leuchten angeregt. Beim Glühen eines Stoffes kommt es durch die Wärmebewegung der Atome zum gleichen Effekt. Wie das Wasserstoffatom, erzeugen alle anderen Elemente Licht prinzipiell auf die selbe Weise, durch den Wechsel der Energieniveaus und die damit verbundene Abgabe von Energie vermittels Lichtquanten. Auch in der Sonne werden Atome durch hohe Temperaturen und magnetische und elektrische Ströme, zum Leuchten angeregt. Im ganzen Kosmos wird Licht auf diese Weise erzeugt. Wenn ein Stoff glüht entsteht ein kontinuierliches Spektrum.

Heißes Gas von geringer Dichte oder Gas, das mit Elektronen oder Lichtquanten beschossen wird, erzeugt ein Linienspektrum (Bild D1a).

Licht kann aber ebenso absorbiert, also verschluckt werden, wenn Licht durch ein Gas fällt, dann entsteht ein Absorptionsspektrum (Bild D1b).

Kehren wir zurück zum Wasserstoffatom. Je nach Übergang, wird eine Lichtquant mit entsprechender Frequenz abgestrahlt. Da das Licht nur ingestuften Einheiten abstrahlt, ergeben sich sog. Spektrallinien, das Licht hat also eine definierte Frequenz und diese zeugt von dem Wechsel der Energieniveaus. Natürlich liegen nicht alle abgestrahlten Lichtfrequenzen im dem für uns Menschen sichtbaren Bereich. Es gibt auch Strahlung im Langwelligen Infrarot, bis zum Radiowellenbereich. Oder Strahlung imkurzwelligen Ultraviolett bis hin zum Gammawellenbereich. Licht im physikalischen Sinne ist elektromagnetische Strahlung. Von den langwelligen Radio- und Funkwellen über Wärmestrahlung zum Licht, bis hin zu kurzwelliger Röntgen und Gammastrahlung ist alles elektromagnetische Strahlung und entspringt den Atomhüllen der Elemente die es im Kosmos gibt.

Ein Teil des gesamten Wasserstoffspektrums ist die so genannte Lyman-Serie und die-se liegt im kurzwelligen Ultravioletten unsichtbaren Bereich. Es handelt sich um eine Serie von Spektrallinien (Bild D1), welche den Wechsel von der Elektronenbahn n=1 auf die höheren Bahnen n=2, 3, 4 … im Wasserstoffatom anzeigen. Die abgestrahlten Fre-quenzen kann man mit der Rydberg-Formel berechnen (Bild D1c). Dabei ist RH die Rydberg-Konstante, die in unterschiedlichen Varianten angegeben wird, je nach dem, ob man Frequenzen oder Wellenlängen berechnen möchte. Mit dieser Formel kann man die Lichtfrequenzen die ein Wasserstoffatom aussendet berechnen. Der Buchsta-be m gibt dabei das Niveau an auf das das Elektron zurückfällt und n, das Niveau auf das es angehoben wurde.

Bei der Lyman-Serie ist m=1. Das Elektron fällt also immer auf das erste Energieniveau m=1 zurück. Wir wollen nun sehen, ob die Frequenzen der Lichtemissionen harmonika-len Gesetzen folgen. Das heißt, wir wollen untersuchen, ob die Regeln der musikalischen Intervalle, welche in unsere Seele gelegt wurden, denen ähnlich sind, nach denen Atome ihr Licht aussenden. Solche Betrachtungen wurden in der Vergangenheit mehrmals angestellt.
Beispielsweise wurden die Frequenzen der Spektrallinien im Wasserstoffatom in den hörbaren Bereich oktaviert (mehrfach verdoppelt) und in eine Zwölftonleiter gestellt.Als maximales Ergebnis hat man eine statistische Auswertung der Treffergenauigkeit und somit eine mehr oder weniger gute Übereinstimmung mit unserer Tonleiter. Die Aussage ist eine Wahrscheinlichkeit in der Übereinstimmung, kein Gesetz.

Dieses Verfahren liefert im Grunde beliebige Ergebnisse. Um es anschaulicher zu machen. Man könnte ebenso den Inhalt einer Spielkiste abmessen und in Bezug zu einer Tonleiter stellen. Die gemessenen Maße träfen, wenn man sie in den Tonraum einer Oktave bringt irgendwo in den Tonraum und liegen gewiss mehr oder weniger in der Nähe der zwölf Halbtöne. Man kann diese Methode abwandeln und berechnet die tat-sächlichen Intervallproportionen mathematisch exakt. Zerlegt man diese Proportionen anschließend in alle möglichen Mikro-, übermäßigen- und verminderten- Intervalle, so ist das nichts weiter als eine Erweiterung der oben angegebenen Methode. Es macht prinzipiell keinen Unterschied, denn eine strenge Gesetzmäßigkeit kann man so niemals finden.

Die Harmonie im Wasserstoffatom, Harmonie im Kosmos

Die Spektren des Wasserstoffatoms könnten indes tatsächlich auf harmonikalen Prinzi-pien beruhen. Das heißt, dass die Elemente der Musik jenen der Wasserstoffspektren vollkommen entsprechen, wenn man die Rydbergformel umformt. Diese Umformung ist mathematisch vollkommen korrekt. Es gibt also zwei Formen der Rydbergformel, die mathematisch vollkommen gleichwertig sind. Die erste form ist bekannt. Sie steht in Bild D1.1 (2)ganz oben. Nach der Umformung sieht sie so aus wie im grauen Kasten in Bild D1.1 . unten. Es ist die von mir gefundene und als Oberton – Form benannte Gleichung der Rydberg – Formel.

Durch die Umformung erhält die Gleichung eine Form, die als Quotientenreihe darge-stellt werden kann. Setzt man nämlich für m=1 und für n der Reihe nach 1,2,3 usf., so erhält man die in Bild D1.1 (unten) fett gedruckte Quotientenreihe. Später wird das nochmals anschaulich gezeigt.
Das Verhältnis dieser einzelnen Quotienten ergibt z.B. die Werte für die Lyman – Serie. Aber auch alle anderen Spektralserien können daraus ebenso einfach berechnet werden. Setzt man für m=1 und für n=2, so erhält man als Ergebnis die in Bild D1.1.a angegebene Rechnung (Bei-spiel einer Frequenzberechnung). Der Einfachheit halber ist R, die Rydberg-Konstante, bereits als Basisfrequenz umgewandelt. Die Brüche 1/2 und 2/3 können wir als Verhält-nis zweier Intervalle betrachten. Das Oktavintervall (Frequenzverhältnis 1/2) und das Quint Intervall (Frequenzverhältnis 2/3). Die Frequenzen dieser beiden Intervalle auf einem rein gestimmten Instrument ergäbe ein Quartintervall mit dem Frequenzverhältnis 3/4 (Sprich drei zu vier. Man kann ebenso 3:4 schreiben).

Wir haben auf diese Weise eine mathematisch exakte Transformation in den hörbaren Bereich, denn jedes Quartintervall auf jedem beliebigen Instrument hat ein Frequenz-verhältnis von 3:4. Eine Oktavierung ist dazu nicht nötig. Diese Transformation ist ma-thematisch exakt und bildet die Obertonreihe als Proportionen ab, denn nur Proportio-nen, also Tonintervalle machen Musik aus. Ein einzelner Ton ist noch keine Musik, erst in der Folge von Intervallen hören wir Melodie und Klang. Ebenso kommt es im Was-serstoffatom zu einer Lichtemission (Abgabe elektromagnetischer Strahlung), wenn ein Elektron von einer Bahn (Energieniveau) zu einer anderen springt, so wie ein Musiker etwa zwei aufeinander folgende Tasten eines Instruments drückt.

Die Universalität dieser Entdeckung

Die Atomhülle kann also mit fug und Recht als Instrument angesehen werden. Die Energiebetrachtung ist unabhängig davon, wie wir uns das Atom vorstellen. Wie auch die Modellvorstellung der Physik sich noch entwickeln mag, die Energiebetrachtung wird immer gültig sein, da die Energien und Frequenzen messbar sind. Mit zunehmen-der Zahl von Elektronen und Energieniveaus wird die Sache unübersichtlich und komplex. Viele verschiedene Faktoren wie Koppelung der Schwingungen treten in den Vordergrund. Der Anfang aber ist das Wasserstoffatom mit einem einzigen Elektron, welches die Obertonreihe abbildet. Es ist gewissermaßen das Urprinzip, welchem die einfachsten Objekte noch folgen, aber von komplexeren Erscheinungen zunehmend überlagert werden.

Das Wasserstoffatom ist das erste, das nach dem Urknall im Universum entstanden ist und Wasserstoff ist daher das häufigste Element im Kosmos. Das Wasserstoffatom ist ein in sich geschlossenes Ganzes und das einfachste Atom, das es in der Reihe der Elemente gibt. Diese Geschlossenheit verbietet es, die ausgesandten Frequenzen durch einen technischen Akt, wie das Oktavieren, also das halbieren seiner Frequenzen in den Hörbaren bereich zu heben. Damit reißt man das organische Ganze der Propor-tion dieses Systems aus seinem Zusammenhang in einen absoluten Frequenzbereich hinein.
Die Proportion 1:2 entspricht in unserer Betrachtung der sog. Ionisationsenergie. Es ist die mindestens auftretende Energie die ein Elektron dazu veranlasst, das Atom zu ver-lassen. Salopp gesagt ist es ein Stoß, der das Elektron aus dem Atom befördert. Nur dann ist die sog. Ionisierungsenergie erreicht oder überschritten worden. Das Oktavin-tervall ist also die Grenze des Klanges im Wasserstoffatom. Es ist so, als hätte dieses Musikinstrument nur eine Oktave Tonumfang. Das erinnert mich an eine Darstellung des Mystikers Robert Fludd (Bild D1.2).
Die Tatsache, dass Lichtfrequenzen des Atoms elektromagnetische Wellen sind, wäh-rend das Ohr die Transversalwellen der Druckschwankungen der Luft aufnimmt, spielt in diesem Zusammenhang keine Rolle. Die Rechnung zeigt, dass wir die Intervallzahlen als universelle Glyphen zu sehen haben. Sie verbinden unser musikalisches Empfin-den, also unsere Seele, mit dem Kosmos. Die Hülle des Wasserstoffatoms ist ein organisches in sich geschlossenes Ganzes, das durch die Intervallproportionen, wie sie in der Rechnung (Bild D1.3) zu sehen sind, aufgebaut ist. Man kann die gegebenen Intervalle auf jedem beliebigen Instrument spielen und da jedes Instrument wieder ein organisches Ganzes darstellt, ist dies möglich. Alle diese Objekte sind Ganzheiten, welche durch die Möglichkeiten ihrer Intervalle dennoch universell sind. Die Reihe der Intervalle ist universell, welche jedes dieser Systeme zu einem eigenen Kosmos macht und die dennoch Abbilder einer universellen
universellen Gesetzlichkeit sind.

In Bild D1.3, sind alle Terme der Lyman-Serie dargestellt. Die tatsächlichen Frequenzen brauchen uns hier nicht zu interessieren, sie stehen in dem gleichen exakten Verhältnis zueinander, wie die Brüche. Man sieht aber deutlich, wie die Frequenzen aus einer Obertonreihe heraus entstehen. Wir sehen es mathematisch exakt. f2 (Bild D1.3) bei-spielsweise entsteht aus den Intervallen einer Quinte (Frequenzverhältnis 2/3) und einer Quarte (Frequenzverhältnis 3/4), f3 aus einer Quarte (Frequenzverhältnis 3/4) und einer großen Terz (Frequenzverhältnis 4/5). f4 aus großer Terz (Frequenzverhältnis 4/5) und kleiner Terz (Frequenzverhältnis 5/6).
Mit f5 und f5 treten die Naturseptimen (6/7) und (7/8) hinzu. Da sie in unserer Musik nicht verwendet werden, kennen wir auch ihr Verhältnisintervall (Frequenzverhältnis 35/36) und (Frequenzverhältnis 48/49) nicht. Hingegen sind alle anderen als Intervall bekannt. (Frequenzverhältnis 8/9) das große Ganztonintervall, (Frequenzverhältnis 15/16) der große Halbton, (Frequenzverhältnis 24/25) der kleine Halbton (Siehe Bild D1.3).
Es gibt keine Intervalle mit einem Frequenzverhältnis 35/36 oder 48/49, diese entstehen aber aus dem Frequenzverhältnis 5:6 zu 6:7 bzw. 6:7 zu 7:8, aber sie entstehen mit Sicherheit in Blasinstrumenten, wie z.B. Alphörnern, welche nur Naturtöne erzeugen. Das Anblasen der Töne geschieht durch unterschiedlichen Druck. Es gibt keine Klap-pen, welche die Töne erzeugen. Der Ton wird lediglich durch eine einzige schwingende Luftsäule erzeugt und diese schwingt in den ganzzahligen Frequenzen der Obertonrei-he. Der erste Ton als Grundton wird gefolgt vom zweiten, der die doppelte Frequenz hat(3). Der dritte Ton hat die dreifache, der vierte die vierfache Frequenz des Grundtons, usf. Eben aus dieser naturhaften Reihe einer schwingenden Luftsäule bilden sich die Frequenzen der Lichtemissionen im Wasserstoffatom. Die Verhältnisse der Frequenzen 1:2:3:4:5:6:7… bilden zunächst paarweise die Intervalle 1/2, 2/3, 3/4, usf. diese Propor-tionen treten dann als Doppelverhältnis nach außen. Das Verhältnis 1/2 : 2/3 ergibt die erste Lichtemission, die Lyman – Alpha Linie entsteht also aus den Bruch 1/2 : 2/3. Wie bei Brüchen üblich werden sie kreuzweise multipliziert. Also Zähler1 x Nenner2 und Nenner1 x Zähler2. Im vorliegenden Fall 1/2 : 2/3 = (1×3)/(2×2) = 3/4. Auf die selbe Weise entstehen alle anderen Emissionen.

Auch mag es sein, dass unter gewissen klanglichen Bedingungen solche Intervalle in komplexen klassischen Kompositionen entstehen ohne dass diese im Notensystem aufscheinen. Die klangliche Komplexität eines Orchesters ist unvorstellbar groß. Es werden verminderte und übermäßige Intervalle gespielt.
Jedoch klingt das Wasserstoffatom per se keineswegs als Sphärenklang, der unserem Ohr auch nur im Entferntesten entspräche. Diese Intervalle klingen teilweise grässlich, kalt und maschinenhaft. Ein Wasserstoffatom ist also keine klanglich angenehme Sa-che, aber dessen Basis ist zweifellos harmonikal. D.h. die Intervallzahlen unserer Musik sind darin enthalten, wie etwa die Farben auf einer Malerpalette. Ein Bild ergibt es je-doch deswegen noch lange nicht, ebenso wenig, wie ein Wasserstoffatom von vorne herein eine Komposition in unserem Sinne ergäbe.
Eine wichtige prinzipielle Frage für die harmonikale Betrachtung ist: Lässt sich für die Quantenzahl n beliebig große Werte eintragen? Mathematisch gesehen wäre das durchaus möglich, denn der Wert 1/n2 .geht für beliebig große Werte gegen null. Die Ionisierungsenergie 1-1/n2 wird also niemals erreicht. Die Antwort lautet ja. Zwar wer-den die Energiedifferenzen so klein, dass ein Atom durch Vakuum gegen thermische Einflüsse geschützt werden muss. Man könnte sagen, dass geringfügiges Schütteln des Atoms schon genügen würde, um die Elektronen aus der Atomhülle heraus zu schla-gen, wenn sie sich auf Energieniveaus wie z.B. n=100 befänden und daher treten große n unter normalen Bedingungen nicht auf, unter Vakuum und im Weltall gibt es diese Effekte aber durchaus. (4)

Eine etwas andere, anschaulichere Darstellung der Berechnungsmethode bieten die Bilder D2-D6. Hier ist die Obertonreihe als fortlaufende Zahlenreihe dargestellt. Die Pfeile verweisen auf die Brüche, die zu den Die restlichen Spektralreihen ergeben sich aus dem dargestellten Prinzip analog zur Lyman-Serie. Die Ergebnisse müssen anschließend mit dem Faktor R/m2 skaliert wer-den. Dazu genaueres im Abschnitt für physikalisch Interessierte.

Die in den Bildern D2-D6 dargestellten Spektralserien wurden nach ihren Entdeckern benannt. Man sieht aber in diesen Bildern deutlich, dass es immer die simple Ziffernfol-ge der Obertonreihe ist, welche wir als Grundlegend erachten und welche als Bildungs-prinzip hinter all diesen Serien steht. Es werden nur jeweils Ziffern übersprungen und daraus die Quotienten gebildet. Je nach Sprungweite ist noch der Faktor 1/m2 zu multi-plizieren. Dieser Faktor m ist auch die Sprungweite, welche durch Bögen über den Zif-fern dargestellt wurde. Wie bereits gezeigt können all diese Serien durch die folgende Gleichung errechnet werden.

Oberton-Form der Rydberg-Formel

Diese Form der Rydbergformel besteht aus zwei Komponenten. Außerhalb der Klam-mer ist ein Quadratischer Faktor und die Rhydbergkonstante.

Innerhalb der Klammer ist eine Obertonreihe. Das kann man sehen, wenn man für m und n die entsprechenden Werte einsetzt, siehe Bilder D3-D6

Abschnitt für physikalisch Interessierte

Nach der Aussage von De Brogli sind die Energien der Elektronen im Atom in Materie-wellen aufgelöst (Bild D8 oben).

Wenn man nun die Rydbergformel als Summe solcher Energien auffasst (Bild D8 un-ten), dann haben wie es nicht mit einer arithmetischen Summe zutun, wie die Rydberg-formel es vortäuscht, sondern mit zwei Wellen, die sich überlagern. Die harmonikale Form der Rydbergformel entspricht also viel eher der physikalischen Realität als die Form, wie sie allgemein bekannt ist. In einer Ableitung aus der Schrödingergleichung kann man sehen, dass die Energien nun als Quotient auftreten.

Stationäre Schrödingergleichung

Im Folgenden werden wir ausnutzen, dass für kugelsymmetrische Systeme [Die Rydbergformel berechnet die kugelförmigen s-Orbitale] die Winkelabhängigkeit der Wellenfunktion analytisch berechnet werden kann und das Auffinden des Spektrums der stationären Lösungen im wesentlichen durch die Lösung der Schrödingergleichung für die radiale Bewegung bestimmt ist. Das Quadrat dieser Wellenfunktion gibt dann die Wahrscheinlichkeitdichte ein Teilchen im Abstand r vom Ursprung des Potentials zu finden. Formal hat die stationäre, radiale Schrö-dingergleichung für jeden Wert der Energie immer zwei Lösungen, die i.A. die Ei-genschaft haben am Ursprung oder für große Abstände unendlich zu werden. Damit die Wahrscheinlichkeitsinterpretation auch wirklich Sinn macht, muss die Wellenfunktion überall endlich bleiben. Diese Bedingung ist aber nur für be-stimmte Werte der Energie erfüllbar. Wir wollen dies im folgenden Applet zeigen

indem wir durch numerische Integration die radiale Schrödingergleichung lösen. Wir wählen für jede Energie eine Lösung, die am Ursprung endlich ist, und su-chen nach Wellenfunktionen, die überall endlich bleiben. Mit dem folgenden Applet(5) sollten Sie in der Lage sein für eine Reihe von kugelsymmetrischen Poten-tiale (der Form V(r)=V0 rk, k=-1,1,2,…) das Spektrum der stationären Zustände zu finden: Ändern Sie die Energie so, bis die Wellenfunktion in einem hinreichend großen Bereich endlich bleibt. (Weil die numerische Berechnung nur eine endli-che Genauigkeit hat gilt dies nie für alle r, Sie werden jedoch feststellen, dass die Energien trotzdem ziemlich genau bestimmt sind!) Sie sollten für das Coulomb-potential (k=-1) finden, dass das Spektrum gegeben ist durch

E/E0=-1/n2, n=1,2,3….

Für ein Wasserstoffatom gilt E0=13.6 eV. Für den Oszillator (k=2) sollten Sie E/E0=3/2+2n-2 (3/2+2n-1), n=1,2,3… für l gerade (ungerade) finden (6).

Wenn man sich die Umformung der Rydbergformel (Bild D7) ansieht, dann fällt auf, dass die Ausgangsenergie m, jene Energie des Elektrons auf der jeweiligen Grund-bahn, von der aus es angeregt wird, in zwei Teile zerfällt.Einerseits ist m beteiligt an der Bildung der Obertöne im Term, der in der Formel in Klammern steht (Siehe auch die Berechnungs

beispiele in Bild 1.3), andererseits er-scheint m2 gemeinsam mit der Rydbergkonstante R als Skalierungsfaktor R/m2. Diese Aufgabe ist auf das Modell

eines Monochords übertragen, jene der Saitenspannung. Diese legt einerseits die Tonhöhe fest, andererseits ist sie natürlich auch mitwirkend, wenn die Saite sich als Schwingung in die Obertöne verzweigt. Hier kann man sehen, dass m in der Form n-m im Zähler und n+m in Nenner, die Intervalle gewissermaßen aufspreizt.
Diese Interpretation der Ausgangsenergie m ist das entscheidende Problem an der ganzen Ableitung. Als Modell kann das Monochord herangezogen werden.

Bildhaft gesprochen steht die Grundenergie m, für die Saitenspannung, die Stege ent-sprechen den Anregungsenergien n, bzw. den natürlichen Obertönen einer schwingen-den Saite. Diese Obertöne fallen natürlich je nach Saitenspannung in andere Tonhöhen und werden entsprechend skaliert. Das Gleiche geschieht mit den Spektralserien, wenn sie von unterschiedlichen Grundenergieniveaus m aus berechnet werden.

Man kann das beispielsweise sehen, wenn man das Heliumspektrum betrachtet.
Im Jahre 1897 stellte der amerikanische Astronom Pickering im Licht des Sterns ξ-Puppis eine Spektralserie fest, die viel mit der Balmer – Serie des Wasserstoffs gemein-sam hat. Die Berechnung wurde zunächst mit der Rydbergformel und den Werten n/2 und m/2 ausgeführt (Bild D9). Man stellt fest, dass dies zu einer Skalierung führt. Die Balmer – Serie um den Faktor ¼ skaliert ist also identisch mit der des Heliumspektrums. Rechnet man 4/m2 und für m=2, so erhält man als Ergebnis, dass es sich um die Bal-mer – Serie handelt. Es ist jene Serie, die wir mit der harmonikalen Form (Bild D7) auch erhalten, bevor wir sie mit 1/m2 ins Wasserstoffspektrum skaliert haben.

Wir sehen also nichts weiter, als dass die Elektronen, genauer das s – Orbital im Heli-umatom eine andere Grundenergie besitzen und dies führt zu einer Skalierung der Obertonreihe. Dies führt letztlich zur Überlegung des Mosleygesetzes.

In einer allgemeineren Form kann man mit diesem Gesetz auch die Wellenlängen der übrigen Linien des Röntgenspektrums bestimmen. Die Wellenlänge λ der beim Elektro-nenübergang emittierten bzw. absorbierten charakteristischen Röntgenstrahlung ist ab-hängig von der Ordnungszahl Z des jeweiligen Elements und somit charakteristisch für ein bestimmtes Element. Es gilt in der allgemeineren Form siehe Bild D10:
Eine exotische Form eines künstlich erzeugten Atoms sind Myonische Atome

Myonische Atome
Myonische Atome bestehen aus einem Kern der Ladung +Ze,
(Z = Ordnungszahl oder Kernladungszahl, e = Elementarladung eines Elektrons)
einem negativ geladenen Myon µ− und einer Anzahl von Elektronen. Die Myo-nen, welche sich als Leptonen hervorragend eignen die Rolle der Elektronen ein-zunehmen, werden auf Orbitalen hoher Quantenzahl eingefangen und fallen dann über Kaskaden in den Grundzustand. Bei diesem Prozess können Elektro

Elektronen aus dem Atomverband ausgelöst werden. Wir wollen die Elektronen bei unserer Betrachtung erst einmal außer Acht lassen. Dann haben wir es mit einem System wie dem Wasserstoffatom zu tun und können die Wellenfunk-tionen des Myons unmittelbar angeben. Dabei ist die reduzierte Masse (K) zu errechnen, die für schwere Kerne immer noch gut mit der Myon-Masse übereinstimmt. Da das Myon 206.76-mal schwerer als das Elektron ist, ergibt sich ein um diesen Faktor kleinerer Bohrscher Radius (7)

Es zeigt sich letztlich, dass die Spektren solcher Atome wieder die bekannten Spektral-serien hervorbringen. Das beweist, dass die einfachste Form eines Elektrons oder My-ons, als s-Orbital, also des kugelförmigen Aufenthaltsraumes, eine Obertonreihe bildet. Dabei ist es egal, ob Elektron, Myon oder ein anderes Lepton, die Obertonreihe ist das bestimmende Merkmal. Im Mosleygesetz wird durch die Kernladungszahl Z und der reduzierten Masse K immer wieder skaliert. Die Änderung, die ich durch die harmonika-le Form einbringe besteht lediglich darin, die Grundenergie m zusätzlich mit als Skalie-rung einzubringen. Am Ergebnis ändert sich dadurch nichts. Die mathematische Form ist jedoch grundlegend anders.

Wir haben also mit der harmonikalen Form der Rydbergformel ein allgemeines quan-tenphysikalisches Naturphänomen vor uns. Die Obertonreihe erscheint jedoch nicht direkt, sondern gewissermaßen als Gerüst, das im Hintergrund die Erscheinung der Spektren bestimmt. Es handelt sich sogar um eine oktavreduzierte Obertonreihe, die auf dem seit Pythagoras bekannten Monochord eingestellt werden kann. Das Spielen von je zwei benachbarten Saiten entspricht den Frequenzen der Lyman-Serie.

Sollte man die vorliegende Arbeit tatsächlich beachten, wird sich zeigen, ob diese Inter-pretation angenommen wird oder nicht. Es ist eine Frage der Ansichten, denn eine bessere Formel, als die Rydbergformel existiert bis heute nicht. Wohl ist die Rydberg – Kon-stante R quantenphysikalisch abgeleitet und exakt gemessen worden, jedoch der Term der Gleichung, der in Klammern steht, blieb bis heute empirisch und konnte nicht quan-tenphysikalisch abgeleitet werden. Alle Abweichungen, welche Spektrallinien von der Rydbergformel aufweisen, konnten erklärt und bestimmt werden. Die Rydbergformel ist

bis heute ein gültiges Monument der Quantenphysik. Ob ihre Interpretation als Oberton-reihe zu neuen Einsichten oder Streitigkeiten führt, oder ob sie unbeachtet bleibt, liegt nicht mehr in meinem Einflussbereich. Gewiss liegt keinerlei mathematischer Leistung darin, denn die Umformungen benötigen nicht mehr, als die Kenntnis einfacher Algebra, wenn auch etwas trickreich. Die damit erzielte Wirkung kann aber, ähnlich wie im Falle von Johann Jakob Balmer, der den Term der Rydbergformel eigentlich entdeckt hatte, weitreichende Folgen haben.

Für die Gesamtenergie eines Elektrons auf der n-ten Quantenbahn eines Einelektronensystems mit der Kernladung Z x e gilt:

Beim Übergang von der m-ten zur n-ten Quantenbahn (m > n) wird ein Photon der Energie h·f emittiert. Dabei gilt:

Die Energien sind eigentlich Frequenzen und die wiederum schwingen, wie ein harmonischer Oszillator, ähnlich einer schwingenden Saite als Obertonreihe

1 Licht ist elektromagnetische Strahlung im Bereich von ca. 400-800nm. Elektromagnetische Strahlung muss jedoch nicht als Licht sichtbar sein. ZB. UV Strahlung, Röntgenstrahlung, etc. ist ebenfalls elektro-magnetische Strahlung und von der selben Natur wie Licht.

2 Wenn Sie die den Beweis in der rechten Spalte verfolgen wollen, genügt es zu wissen, wie man zwei Brüche miteinander multipliziert. Zähler und Nenner werden kreuzweise multipliziert. (n-m)/n : n/(n+m) = (n-m) . (n+m) : (n . n). Im Abschnitt für physikalisch Interessierte, habe ich eine Erläuterung für physikalisch Interessierte hinterlegt. Vor Allem die Grundenergie m erfüllt nun zwei Aufgaben, dazu mehr im Dort.

3 Auch hier, wie in allen realen physikalischen Vorgängen entstehen geringfügige, kaum hörbare Ver-stimmungen durch Verwirbelungen und andere Nebeneffekte. Das übergeordnete Prinzip aber bleibt die Obertonreihe. Ebenso schwer durchschaubar hat man sich die Lichterzeugung in komplexeren Atomen vorzustellen.

4 Für den Übergang von n = 101 nach n = 100 erhalten wir E101−E100 = 0.03 meV oder 0.2 cm−1 bzw. 7 GHz. Die dem Übergang entsprechenden Lichtfrequenzen liegen also im Mikrowellenbereich. Siehe Vor-lesungsskript SS 2003, S.188, Prof. Dr. Rudolf Gross Walther-Meissner-Institut, Bayerische Akademie der Wissenschaften, und Lehrstuhl für Technische Physik (E23) Technische Universität München.

5 Das Applet, siehe dort : http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html

6 Quelle: http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html

7 Quelle: Physik IV : Atome, Moleküle : Wärmestatistik, Vorlesungsskript zur Vorlesung im SS 2003. Prof. Dr. Rudolf Gross. Walther-Meissner-Institut, Bayerische Akademie der Wissenschaften und Lehrstuhl für Technische Physik (E23), Technische Universität München, S.191-193.