Die Legende um die pythagoreische Harmonik

Die Pythagoreer verwendeten ein Instrument, das Monochord genannt wurde. Monochord kommt aus dem Greichischen monos, Eins und Chorda, Saite, bedeutet also wörtlich „Einsaiter“. Bei Boethius nannte man das Monochord noch „Richtholz“ Von Pythagoras ist überliefert, er habe das Gesetz zwischen Klang und musikalischem Intervall im Vorübergehen an einer Schmiede gefunden.
Als er in jener Zeit durch einen göttlichen Wink an Werkstätten vorbeikam, hörte er, wie Hammerschläge auf gewisse Weise aus ihren verschiedenen Klängen zu einem gemeinsamen Ton zusammenklangen.…XI. Auf welche Weisen von Pythagoras die verschiedenen Verhältnisse der Zusammenklänge ausgemessen wurden.
Von dort also nach Hause zurückgekehrt maß er seine Untersuchung mit verschiedenen Experimenten aus, ob das Entsprechungsgesetz der harmonischen Beziehungen mit diesen Größenverhältnissen Bestand habe. Indem er erst einmal gleichgroße Gewichte an Saiten hängte und deren Zusammenklänge mit dem Gehör beurteilte und dann in der Länge von Rohren doppeltes und halbes Maß herstellte und die weiteren Größenverhältnisse einhielt, erreichte er durch verschiedene Erfahrungen hindurch absolute Zuverlässigkeit. Oft auch, wenn er zur genauen Ausmessung Becher gleichen Gewichts in Schalen einsetzte, und wenn er oft auch ebendiese Schalen, in verschiedenen Gewichten ausgeformt, mit einem ehernen oder eisernen Stock anschlug, freute er sich, keine Abweichungen zu finden. Davon veranlasst machte er sich daran, Länge und Dicke von Saiten zu erforschen. Und so erfand er ein Richtholz, über das wir weiter unten sprechen wollen, das seinen Namen von der Sache nimmt, nicht weil das Richtholz ein hölzernes ist, mit dem wir Saitenlänge und Klang messen, sondern weil dieses Richtholz ein so sicher genormtes Untersuchungsmittel ist, dass es keinen Forscher durch eine falsche Angabe täuscht.(1)
Der Text wurde ca. 700 Jahre nach Pythagoras vom römischen Philosophen und Mathematiker Boethius niedergeschrieben. Boetiuns nannte noch „Richtholz“, was später Monochord genannt wurde.Erst mit Hans Kayser, Kunst- und Musiktheoretiker, wurde die Pythagoreische Betrachtung im 20. Jahrhundert wiederbelebt. Sein Schüler Rudolf Haase, der in Wien einen Lehrstuhl für harmonikale Forschung eingerichtet hatte schreibt:
Im engsten Zusammenhang mit der Proportionslehre steht das Monochord, beziehungsweise der Kanon, da die Bezeichnung Monochord erst durch Nikomachos(2) eingeführt wurde. Mit seiner Hilfe dürften die Proportionen untersucht, wenn nicht überhaupt erst entdeckt worden sein; denn die weit verbreitete Legende, der zufolge Pythagoras die Proportionen beim Besuch einer Schmiede entdeckte, ist bekanntlich akustisch unmöglich verifizierbar. (3)
Diese nicht verifizierbare Legende und die damit verbundenen Experimente wurden also fernerhin konsequent ausgeblendet. Das Monochord war das zentrale Experimentierfeld der Harmonik nach Hans Kayser. Wir wollen zuerst untersuchen, was es mit dem Monochord auf sich hat und untersuchen dann die Frage, warum nur dieser Teil der überlieferten Legende weiter Verwendung fand, der andere Teil jedoch unterschlagen wurde.

Das Monochord und die schwingende Saite

Heute verwendet man das Monochord mit mehreren Saiten. Zweck dieses Instruments ist den Zusammenhang zwischen Saitenlänge und Tonhöhe (Frequenz) zu demonstrieren. Ähnlich wie auf einer Gitarre werden die Saiten beim Spielen nur geringfügig verspannt. Eine Verspannung der Saite ergäbe sich beispielsweise, in dem man hohe Stege unter die Saite schiebt. Das würde die Saite zusätzlich dehnen und somit den klang, genauer, die Frequenz verstimmen. Beim Monochord kommt es aber darauf an, dass die Saiten gleich gestimmt sind, damit man die Länge ins Verhältnis zur Frequenz setzen kann. Die Stege sind beim Monochord verschiebbar, damit man unterschiedliche Saitenlängen einstellen kann. Was mit dem Monochord demonstriert werden sollte, war der Zusammenhang zwischen Zahl und Ton. Betrachtet man eine schwingende Saite, so erkennt man zunächst die Grundschwingung, im Bild 2.0 ganz unten. außer dieser Grundschwingung sind es aber die Obertöne, im Bild 2.0 über der Grundschwingung dargestellt, welche der Saite ihren Klang geben. Der erste Oberton besitzt nun bei der schwingenden Saite exakt die doppelte Frequenz, so dass das Frequenzverhältnis von Grundton zu 1. Oberton 1:2 beträgt. Die Längen verhalten sich genau umgekehrt, nämlich 2:1.

Es sind nun noch weitere Obertöne, bis zum 5. Oberton dargestellt. Letzterer hat exakt die sechsfache Frequenz der Grundschwingung. Nimmt man eine Saite mit einer Länge von 120cm, so kommen die Schwingungsknoten genau dort zu liegen, wie sie in bild 2.0 angegeben sind.
Es gibt natürlich noch weitere Obertöne, die aber immer leiser werden und somit klanglich in den Hintergrund treten. Bei einem Saiteninstrument sind das etwa 20 Obertöne, die noch hörbar sind. Lautstärke und Anzahl der Obertöne ergeben die Toncharakteristik des Instruments. Trompeten mit ihrem metallischen Klang haben bis zu 30 und mehr Obertöne. Holzinstrumente dämpfen die hohen Töne zumeist stark, so dass der Klang tiefer und wärmer wirkt. Diese Art einer Obertonreihe nennt man in der Technik harmonisch, weil in ihr die als harmonisch empfundenen Intervalle klingen.
Man kann nun die einzelnen Obertöne der harmonischen Obertonreihe isolieren. Dies bewerkstelligt man, in dem man am Schwingungsknoten entweder mit dem Finger wie beim Flageolett – Spiel, oder mit einem Steg abgreift, siehe Bild 2.1.

Dadurch wird die Saite gezwungen, in diesem einen Ton, der noch möglich ist, zu schwingen. Die Saite schwingt nun nicht asymmetrisch, sondern in symmetrischer Form, wie auf Bild 2.1 gezeigt. Man nennt die in Bild 2.1 dargestellte Schwingungsform, Schwingungsmode oder nur kurz Mode. In Bild 2.0 sehen wir, dass jeder Oberton eine Mode besitzt.

Warum die Moden so regelmäßig und Symmetrisch aussehen kann man leicht erklären. Von der Stelle, an der die Saite angezupft wird, breitet sich eine Welle nach rechts und links aus. Die Welle wird am Ende der Saite reflektiert. Die reflektierte Welle schwingt gegensinnig, man sagt, sie schwingt mit 180° Phasenverschiebung, also gegenphasig. Dadurch werden alle anderen Schwingungsformen unmöglich. Die Gegenphase und die Gleichphase ergänzen sich zu einer einzigen Welle, siehe Bild 2.2. Letztlich ist für diese Erscheinung das Newtonsche Gesetz Actio = Reactio verantwortlich, denn die Saite übt an den festen Enden eine Kraft aus, die mit einer gleich großen Gegenkraft beantwortet wird. Bildhaft gesprochen könnte man sagen die Saite zieht sich selbst nach oben und unten, wie ein Sportler, der Klimmzüge an einer Stange ausführt und sich dabei wie eine Schlang windet.

Die aufeinander folgenden Obertöne haben jeweils Frequenzverhältnisse von ganzen Zahlen, wie rechts in Bild 2.0 angegeben. Es erklingen die Intervalle unserer diatonischen Tonleiter. Hier in anderer Reihenfolge, als in einer Tonleiter. Diese Reihenfolge der Intervalle ist nach Obertönen geordnet. Jeder Oberton hat eine ihm eigene Mode. Die Moden und ihre zugehörigen Obertöne kann man separieren, wie wir gesehen haben, in dem man Flageolet – Töne spielt.

In der Realität überlagern sich die Moden, denn sie erscheinen und erklingen gleichzeitig, wenn man die Saite irgendwo anzupft. Eine solche Schwingung sähe beispielsweise aus wie in Bild 2.3. Ich habe die dazugehörige Gleichung angegeben. Fett gedruckt sind die Lautstärken.(4) Der erste Oberton ist 0,5, oder halb Mal so laut, wie der Grundton. Die Faktoren sind willkürlich gewählt. In Wirklichkeit richtet sich die Abnahme der Amplituden nach den Gegebenheiten des Instruments und muss gemessen werden.

Der Schwingung kann man so nicht mehr ansehen, dass in ihr die einzelnen Moden der Obertöne enthalten sind. Man kann aber die Obertöne sehr wohl heraushören. Ebenso lassen sich aus einem beliebigen Ton die Obertöne herausrechnen. Das Verfahren heißt Fast Fourier – Transformation, abgekürzt FFT. Es wurde nach dem französischen Mathematiker Fourier benannt, der die Theorie der Fourier – Transformation entdeckte. Diese Theorie, die längst in die Technik der Frequenzanalyse und Klangsynthese eingeflossen ist, besagt, dass man jeden beliebigen Ton und jede beliebige Schwingungsform in die Komponenten reiner Sinunsfunktionen zerlegen kann. Es bedeutet, dass jede Schwingungsform in reine Sinusformen aufgelöst werden kann. Betrachtet man die Schwingungsform in Bild 2.3, so ist ihr zunächst nicht anzusehen, dass sie aus reinen Sinusformen zusammengesetzt wurde. Die Fourier – Analyse würde so aussehen, wie die Gleichung darunter. Man hat also die ersten Obertöne mit jeweils abnehmenden Amplituden. Umgekehrt kann man also auch jeden beliebigen Klang oder Ton aus seinen Bestandteilen zusammensetzen oder synthetisieren und das nennt man in der Technik kurz FFT. Damit werden Synthesizer gebaut, die jedes beliebige Instrument täuschend Echt nachahmen. Täuschend echt bedeutet, dass der um so Klang natürlicher klingt, je mehr Obertöne man berücksichtigt.

Die Theorie der Fourier – Transformation zeigt, dass man die Klänge dieser Welt aus Sinusfunktionen zusammensetzen kann. Sie besagt aber auch dass Sinusformen oder Sinusmoden elementar sind.

Die harmonische Obertonreihe, dreh und Angelpunkt der Harmonik

Wo nun kommen diese harmonischen Obertonreihen vor. Die Antwort ist einfach. Jede ideale schwingende Saite und jede geschlossene Luftsäule erzeugt solche harmonische Obertonreihen, wenn man von Störungen, die im mikroskopischen Bereich auftreten absieht. Als ideale Saite betrachtet man Saiten, die so dünn sind, dass man deren Masse und Steifigkeit rechnerisch vernachlässigen kann. Das klingt zunächst recht konstruiert, ist e aber nicht, denn alle Saiten- und Blasinstrumente erzeugen solche harmonischen Obertonreihen. Unsere Musik ist also von harmonischen Obertonreihen geprägt. Setzt man die erzeugende Saitenlänge oder die erzeugende Länge einer Luftsäule ins Verhältnis zu ihrer Frequenz, so ha man ein umgekehrt proportionales Verhältnis von Wellenlänge zu Frequenz. Das ist die Quintessenz aller Experimente, die man am Monochord der Pythagoreer durchführt.

Nun kann man diese Erscheinung in knapper Form anschreiben.

c = lx f

Dabei ist c die Wellengeschwindigkeit, l die Wellenlänge und f die Frequenz. Nun muss man wissen, dass die Grundschwingung, wie in Bild 2 zu sehen, eine halbe Welle ist. Wenn wir eine Monochord – Saite mit einer Länge von 120 cm auf den Grundton von 256Hz stimmen, so beträgt die Wellenlänge des Grundtons 240cm. Die Geschwindigkeit c, mit der sich eine Welle über die Saite ausbreitet ist dann 256Hz x 2,4 m = 614,4 m/s, also beinahe doppelte Schallgeschwindigkeit. Alle gleich gestimmten Saiten mit gleicher Dicke und aus gleichem Material haben die Selbe Wellengeschwindigkeit. Dies ist der tiefere physikalische Grund, warum sich der einfache Zusammenhang zwischen Frequenz und Form der Obertöne, wie in Bild 2.0 dargestellt, ergibt. Schreiben wir die in Bild 2.0 gezeigten Obertöne in eine Tabelle, so wird der Zusammenhang klarer.

Die Zeile „Halbwelle“ ist die Länge einer stehenden Halbwelle. Diese Längen sind in Bild 2.0 eingetragen.

Multipliziert man Wellenlänge und Frequenz der Tabelle, so erhält man stets die Wellengeschwindigkeit c = 614,4 m/s, gleichzeitig sind die Frequenzen Obertöne der Grundfrequenz 256 Hz. Um mit der Zählweise besser zu recht zu kommen wurde der Begriff Teilton eingeführt. Es ist 256 x 6 = 1536 Hz, der 5. Oberton und 0,2 m ist 1/6 der ganzen Saitenlänge L von 1,2 m am Monochord mit 120cm Mensur- oder Saitenlänge. Die Gleichung für Stehende Wellen am Monochord lautet:

c = f x 2L

Dabei ist die Wellenlänge l = 2L. Wir werden diese Gleichung später noch einmal sehen und dann verstehen in welchem Zusammenhang sie steht. Der dargestellte Zusammenhang beschäftigte eine ganze Generation von Harmonikern, die in der Nachfolge von Hans Kayser forschten und philosophierten. Kayser hatte das Wissen um die Intervalle vor Allem mit der pythagoreischen Philosophie verbunden. Seine umfassenden Betrachtungen hinterließen den Eindruck, als sei die harmonische Obertonreihe das zentrale Feld pythagoreischen Wissens und Ausgangspunkt einer philosophischen Weltbetrachtung.

Die Harmonik im 20. Jahrhundert

Hans Kayer, war der Begründer der Harmonik. Er hat Pythagoreische und Überlieferungen aus aller Welt mit modernem Wissen um die Akustik der Musikinstrumente in einer Synthese vereint. Daraus leitete er das Primat der ganzen Zahlen und der harmonischen Obertonreihe ab. Harmonk im kayserschen Sinne ist vor Allem gegründet auf Zahl und die harmonische Obertonreihe.

Zitat aus Hans Kaysers Lehrbuch der Harmonik (5)

Was Kayser hier beschreibt ist das Gesetz c = lx f , wie wir es bereist dargestellt haben.

Kayser erweckt den Eindruck, jede beliebige Tonerzeugung, also „irgendeine Grundschwingung“ (6) gehorche dem Gesetz c = lx f, wie es bei idealen Saiten und schwingenden geschlossenen Luftsäulen der Fall ist.

Diesen Sonderfall der Akustik, den Kayser als allgemeinen Fall unterstellt, nimmt Kayser als Ausgangspunkt für eine allgemeine Weltbetrachtung.

Auf diese Weise ergeben sich sieben Töne pro Oktave, welche den tatsächlichen Oberschwingungen einer Saite entsprechen und damit auch den wirklichen Formbildungsprozessen, wenn sich Schwingungen in Materie manifestieren (7)

Die Harmoniker des 20. Jahrhunderts erlagen dem Kayserschen Postulat: „Das Hauptanliegen der Harmonik ist es, kleine Proportionen ganzer Zahlen als kosmische Normen auszuweisen“ (8)

Die Oktave hat die Proportion 2:1, die Quinte 3:2, die Quarte 4:3, die große Terz 5:4, die kleine Terz 6:5, und so weiter. Diese Verknüpfung von Intervall-Qualitäten, die – als Wahrnehmungsinhalte – psychisch erlebbar sind, mit Proportions-Qualitäten, die – als mathematische Entitäten – rational verstehbar sind, kann am Monochord auf einfache Weise hör- und sichtbar gemacht werden. Die mathematischen Gesetze der musikalischen Grundlagen sind zugleich allgemeine Naturgesetze – so dachte man bereits in der Antike, und die moderne harmonikale Forschung verfolgt denselben Weg. Jene naturwissenschaftliche Disziplin, in der uns die harmonikalen Gesetze unmittelbar begegnen, ist die Akustik; Obertöne erklingen bei jeder Tonerzeugung, und die geschlossene Obertonreihe hat die Proportionenfolge 1:2:3:4:5 usw. mit den Intervallen Oktave – Quinte – Quarte – große Terz- usw. (9)

Das Monochord galt als das zentrale Instrument, an dem man das als allgemein angenommene Gesetz der harmonischen Obertonreihe demonstrierte. Vor Allem gestützt auf die überlieferte Verwendung des Monochords bei den Pythagoreern, sah man sich in dessen Nachfolge bestätigt.

Im engsten Zusammenhang mit der Proportionslehre steht das Monochord, beziehungsweise der Kanon, da die Bezeichnung Monochord erst durch Monochord – Saite eingeführt wurde. Mit seiner Hilfe dürften die Proportionen untersucht, wenn nicht überhaupt erst entdeckt worden sein; denn die weit verbreitete Legende, der zufolge Pythagoras die Proportionen beim Besuch einer Schmiede entdeckte, ist bekanntlich akustisch unmöglich verifizierbar.(10)

Die harmonische Obertonreihe mit den Frequenzen 1, 2, 3, 4, usw., ist keineswegs ein allgemeines Phänomen, sondern viel eher eines unter vielen. Wieso es so ausschließlich Verwendung fand liegt wohl in der Tatsache, dass die meisten Harmoniker Musiker waren. Die abendländische Musik wird vorwiegend mit Saiten- und Blasinstrumenten betrieben. Das legt den Fehlschluss nahe, jegliche Tonphänomene würden diesem einfachen Gesetz folgen.

Die schwingende Saite ist ein Spezialfall

Betrachten wir nochmals die schwingende Saite an einem Monochord. Die dort erzeugten Wellen oder Schwingungsmoden sind im Grunde eindimensional. Sie folgen immer nur der Saite und können sich nie in einer Ebene oder im Raum ausbreiten. Wollten wir Schwingungen allgemeiner auffassen, so müssen wir sie auch in Ebene und Raum betrachten, also zwei- und dreidimensional. Das kann man z.B. wenn man. Außerdem betrachten wir stehende Wellen, denn wenn eine Saite beidseitig eingespannt ist, können sich nur stehende Wellen ausprägen. Um eine stehende Welle aus dem Korsett des Monochords zu befreien müssen wir sie frei in dem Raum entlassen. Wir betrachten also eine stehende akustische Welle zwischen zwei Wänden. Die erste stehende Welle bildet sich bei der Frequenz, dessen Wellenlänge dem doppelten des Wandabstandes entspricht. Es ist dann f = c / 2L, wobei L der Wandabstand, f die Frequenz und c die Wellengeschwindigkeit ist. Wir haben hier die Selbe Gleichung, die wir oben bereits betrachtet haben. Dabei ist L, der Wandabstand l halbe. Das deshalb da sich stehende Wellen schon bei halber Wellenlänge ausprägen. In Bild 2.0 unten ist die Grundschwingung nur eine halbe Welle. Erst die nächste Welle, oder der erste Oberton ist vollständig ausgeprägt. Wir erhalten also, wenn wir die Gleichung umstellen wieder c = f x 2L, wobei 2L die Wellenlänge l ist. Weitere stehende Wellen bilden sich bei den ganzzahligen Vielfachen dieser Frequenz. Das ist eine andere Formulierung für die harmonische Obertonreihe.

Wie sieht es nun aus, wenn sich eine stehende Welle zwischen vier Wänden ausprägt, oder im Raum, zwischen sechs Wänden. Die Gleichungen dazu lauten:

Gleichung I. ist jene, die wir von Monochord her schon kennen. L sind die jeweiligen Längen, innerhalb dessen sich die Moden m ausprägen. Die Indices x, y, z geben an, in welche Raumrichtung sich die Moden jeweils ausdehnen. X sei die Länge, y die Breite und z die Höhe. Wählt man für alle Moden jeweils die erste m=1, so erhält man die erste stehende Welle in einem würfelförmigen Raum, in dem alle kanten gleich lang sind, Lx=Ly=Lz=1. Eine solche stehende Welle hätte dann die Frequenz  f = c/2* Wurzel(3). Die Frequenzen dieser Moden oder Schwingungsformen sind also nicht mehr harmonisch. Sie können jeden beliebigen Wert annehmen.

Was ist nun die Konsequenz? Harmonikale Betrachtungen orientieren sich an dem Spezialfall der harmonischen Obertonreihe. Dieser Spezialfall ist Bestandteil einer allgemeinen Betrachtung stehender Wellen. Die Komponenten m/L in den Gleichungen I. – III. sind nichts Anderes, als das Verhältnis, zwischen Länge L der stehenden Welle und der Mode m, wie wir es am Monochord vorfinden. Überlagern sich diese Verhältnisse m/l in den drei Raum – Dimensionen, so sind die zugehörigen Frequenzen nicht mehr harmonisch, also nicht mehr ganzzahlig.

Vorläufiges Resümee zur Kayserschen Harmonik

Man kann muss nun einerseits feststellen, dass die harmonikalen Betrachtungen nach Hans Kayser keineswegs allgemein gültig im Sinne der Akustik sind. Die harmonische Obertonreihe ist ein Spezialfall akustischer Phänomene.

Was die harmonische Obertonreihe auszeichnet, die ja die einfache Zählweise 1, 2, 3, 4-fache Frequenz des Grundtons aufweist, das ist die Zählung der einfachen ganzen Zahlen. Man sagt, die Obertonreihe ist eine Abbildung der ganzen Zahlen und das ist eine wirkliche Besonderheit. Diese Zählweise wird nun in eine weitreichende Übereinstimmung mit den Intervallen unserer Musik gebracht. 1:2 entspricht dem Frequenzverhältnis eines Oktavintervalls, 2:3, dem des Quint-, 3:4 dem des Quartintervalls, usw. Das wiederum legt nahe, dass unsere Psyche auf diese Ganzzahligkeit hin orientiert sein muss, denn sonst würden wir musikalische Intervalle nicht als Schön empfinden. So gesehen hat Schönheit und Harmonie etwas mit den ganzen Zahlen zutun. Kayser nannte diesen philosophischen Kontext „Anhörung“ oder „Akroasis“

Eine allgemeine Betrachtung im physikalischen Sinne muss sich allerdings von der Korrespondenz zwischen Frequenz und Intervall lösen. Denn hier gilt das Gesetz der ganzen Zahlen nicht mehr. Was davon noch bleibt ist eine Betrachtung der Schwingungsmoden, die ja auch in zwei und drei Dimensionen als ganze Einheiten auftreten. Im Kayserschen Sinne wäre das der Wechsel von der „Anhörung“, „Akroasis“ zur „Anschauung“, „Aesthesis“. Die Überlagerung in Flächen und Räumen ergeben dann eine Formvielfalt, die wiederum aus den Elementen einzelner Formen kombiniert ist. Es handelt sich also um eine Obertonreihe der Formen.

Damit ist aber auch die Vielfalt musikalischer Erscheinungen nicht ausgeschöpft. Unsere Tonleitern beruhen nicht ausschließlich auf der Erscheinung der Obertonreihe. Intervalle wie die kleine und große Sexte, mit ihren Frequenzverhältnissen 3:5 und 5:8, sind nicht teil der Obertonreihe. Sie sind aber fester Bestandteil beinahe aller Tonleitern. Um diese Intervalle mit in eine vollständige Tonleiter einzubringen, bedarf es einer anderen musikalischen Betrachtungsweise, nämlich der sog. Tonstufen. Seit dem 17. Jahrhundert bilden die Dur- und Molltonalitäten mit den Tonleitern in sieben, Haupttönen und fünf Halbtönen die Grundlage unseres Musizierns (11). In anderen Kulturen existieren andere Tonleitern, etwa die pentatonische in der chinesischen Musik oder die 22 Stufige indische Tonleiter. Die Tonstufen sind eine eigene Kategorie der Musik. Beispielsweise ist es in der zweiten Stufe egal, ob man einen großen oder kleinen Halb- oder Ganzton, spielt. Gemeint ist immer die zweite Stufe, etwa der simplen Reihe Do – Re- Mi – Fa – So – La – Si. Die Tonstufen sind somit von den Intervallen entkoppelt, bilden eine eigene Kategorie innerhalb einer Tonleiter.

Es gibt also Gemeinsamkeiten zwischen Tonleitern und der Obertonreihe. So sind die ersten Obertöne einer schwingenden Saite, also einer eindimensionalen Schwingung den Tonstufen sowohl unserer siebenstufigen diatonsichen Tonleiter gemeinsam. So etwa entsprechen die Intervalle der Oktave, Quinte, Quarte, gr.- und kl. Terz, den Obertönen 1:2:3:4:5:6. Dann klafft eine Lücke, denn die Intervallverhältnisse 6:7 und 7:8, werden in der europäischen Musik nicht verwendet. Sie erscheinen teilweise in Tonsystemen anderer Kulturen. Dann erscheinen die Intervalle 8:9, gr. Ganzton und 9:10, kl. Ganzton. Die weiteren Obertöne 10:11, bis 14:15 werden in praktisch keiner Tonleiter, auch nicht in außereuropäischen verwendet, während 15:16 als gr. Halbton und 24:25 als kl. Halbton wieder Verwendung finden.

Die Obertonreihe bildet die Tonstufen also nur Bruchstückhaft ab. Sie erscheint aber andererseits auch nur an eindimensionalen idealen Saiten und „ideal“, bedeutet, dass eine Saite ausreichend lang und dünn ist, damit Biegekräfte unwirksam bleiben, sowie in Luftsäulen, wie etwa in Blasinstrumenten. Letztere würden wieder zu unharmonischen nicht ganzzahligen Frequenzen führen.

Wir haben aber mit diesen Betrachtungen die Vielfalt der Schwingungsarten noch immer nicht ausgeschöpft und werden sie später nochmals aufnehmen.

Die Betrachtungen in der Baukunst, der Musikgeschichte und der Mystik ist jedoch stark geprägt von den Zahlen 1 bis 7 und den daraus zu bildenden Intervallen, Proportionen und Tonstufen. Hier weist die Harmonik zahlreiche ausführliche Betrachtungen auf. In der Quanten- und Kernphysik spielt die harmonikale Betrachtung wieder eine Rolle.

Was Hans Kayser und seine Schüler übersehen haben.

Wenn also in der Harmonik nach Hans Kayser der Eindruck entstanden ist, das Monochord sei das Bedeutendste Instrument der Pythagoreer, so ist das falsch. Pyhtagoreische Überlieferung bezieht sich auf eine weite Vielfalt akustischer Experimente. Wieso hat man diese Überlieferung nun vollständig ignoriert? Die Antwort lautet: Sie ist zunächst physikalisch nicht nachvollziehbar und wird bis heute als falsch bezeichnet.

Rechnet man etwa nach, welche Körperschallfrequenz ein Hammer aus Stahl hat, so erhält man bei einer Schallgeschwindigkeit von ca. 5000 m/s und einer Hammerlänge von 0,1 m eine untere Frequenz von 50.000 Hz. Unser Ohr kann aber nur bis ca. 16.000Hz wahrnehmen. Pythagoras konnte also niemals Unterschiede in den Frequenzen verschiedener Hämmer gehört haben. Selbst wenn man annimmt, man habe es etwa mit Messinghämmern und einer Schallgeschwindigkeit von ca. 3000 m/s zutun, so liegt die unterste Körperschallfrequenz immerhin noch bei 30.000 Hz. Also auch weit jenseits der hörbaren Bereichs. Zudem breitet sich der Körperschall innerhalb eine Hammers natürlich dreidimensional aus und wir bekämen nach Gleichung III. oben, niemals eine ganzzahlige Frequenz.

Geht man nun davon aus, dass das die Legende keine Metapher ist, sondern auf Wahrheit beruht, dann wäre es zumindest denkbar, dass die Schmiede anstatt mit Hämmern auf einem Ambos, Meißel zum Treiben von Metall- oder Messingblech, etwa beim Schmieden von Metallbeschlägen verwendet hatten. Hier sieht die Sache nun ganz anders aus. Meißel strahlen Schallfrequenzen je nach Länge in unterschiedlichen Frequenzen im hörbaren Bereich aus. Nun das erscheint spekulativ, wenn nicht konstruiert. Es würde aber die ganze Legende in ein völlig anderes Licht rücken. Ein mir leider unbekannter Autor hat das in Wikipedia veröffentlicht. Man kann es dort unter dem Titel: „Pythagoras in der Schmiede“ (12) unter Punkt  8.2.2 „Ambose“, nachlesen. So gibt es auch die Überlieferung Pythagoras habe etwa Gewichte von 6, 8, 9, und 12 Kg an Saiten gehängt und habe dann die Intervalle Oktave, Quinte und Quarte gefunden, wie es etwa Bild 7.1 links unten suggeriert.

Lesen wir nochmals die Boethiusschilderung:

Indem er erst einmal gleichgroße Gewichte an Saiten hängte und deren Zusammenklänge mit dem Gehör beurteilte und dann in der Länge von Rohren doppeltes und halbes Maß herstellte und die weiteren Größenverhältnisse einhielt, erreichte er durch verschiedene Erfahrungen hindurch absolute Zuverlässigkeit.

Oft auch, wenn er zur genauen Ausmessung Becher gleichen Gewichts in Schalen einsetzte, und wenn er oft auch ebendiese Schalen, in verschiedenen Gewichten ausgeformt, mit einem ehernen oder eisernen Stock anschlug, freute er sich, keine Abweichungen zu finden.

Davon veranlasst machte er sich daran, Länge und Dicke von Saiten zu erforschen. Und so erfand er ein Richtholz, über das wir weiter unten sprechen wollen, das seinen Namen von der Sache nimmt, nicht weil das Richtholz ein hölzernes ist, mit dem wir Saitenlänge und Klang messen, sondern weil dieses Richtholz ein so sicher genormtes Untersuchungsmittel ist, dass es keinen Forscher durch eine falsche Angabe täuscht (13)

Es werden zumindest hier keine Zahlen genannt. Pyhtagoras prüft „Zusammenklänge mit dem Gehör“. Ist das korrekt, so sind alle überlieferten Zahlenangaben falsch.

Hängt man z.B. zwei Gewichte mit 6 Kg und 12 Kg an zwei Saiten, so erklingen sie keineswegs im Oktavintervall. Das würden sie nur dann tun, wenn man 6 Kg und 6 x 6 = 36 Kg an zwei Saiten hinge. Der Zusammenhang zwischen Frequenz und Spannung einer Saite ist nämlich Quadratisch. Die Überlieferung könnte also die genannten Zahlen naiverweise eingesetzt haben, um eine Übereinstimmung mit den Längen am Monochord zu erreichen. Hat Pythagoras diese Experimente durchgeführt, so muss er, wenn er seinem „Gehör“ vertraute, die richtigen Zahlen gefunden haben. Diese Experimente können, wenn sie denn jemals ausgeführt wurden, nur die richtigen Ergebnisse liefern. Man muss also sagen, entweder hat es diese Experimente nie gegeben, oder die überlieferten Zahlen sind falsch.

Eine wahrscheinliche Version des Gewichtsexperiments kann man mit quadratischen Platten ausführen, mit z.B. 6 cm und 12 cm Seitenlänge und gleicher Dicke. Hinge man solche Platten an Saiten, so wäre die größere 36 Mal so schwer die die Kleinere und es erklänge tatsächlich ein Oktavintervall. Das Messen der Quadratseiten ergäbe das Intervall 6:12 oder 1:2, also ein Oktavintervall.

Es gibt jedoch noch einen weiteren Hinweis, der zeigt, dass die Pythagoreer tatsächlich nicht nur mit dem Monochord experimentiert haben. Dieser Hinweis geht auf das 5. Jahrhundert v. Chr. zurück und ist somit näher an Pythagroas wie alle seine Biographen:

Von dem bedeutenden Pythagoreer Hippasos (5. Jahrh. v. Chr.) ist überliefert, er habe mit Bronzescheiben gleichen Umfangs und unterschiedlicher Dicke experimentiert. (14)

Auch das kann man physikalisch korrekt nachvollziehen. Zwei Platten mit gleicher Form erklingen je nach Dicke in unterschiedlichen Intervallen. Die Dicke der Platten verhält sich wie eine Obertonreihe. Um ein Beispiel zu nennen. Eine Platte mit 1 mm Dicke und eine Platte gleicher Größe und gleichem Materials mit 2 mm Dicke erklingen in einem Oktavintervall. Die Dicke verhält sich umgekehrt Proportional zur Frequenz. Es gilt das selbe Gesetz, wie bei schwingenden Saiten.

Ist alles harmonische Obertonreihe, Oder ist die Welt Klang?

Es stellt sich nun die Frage, ob alle Ton – Erscheinungen in der Natur harmonische Obertonreihen sind. Oder ob zumindest alle Ton – Erscheinungen irgendwie auf ganzzaligen Vielfachen eines Grundtons oder einer Grundschwingung zurückzuführen sind.  Objektiv betrachtet muss man diese Frag verneinen. Die wenigsten Tonerzeuger halten sich an die harmonische Obertonreihe. Genau gesprochen gibt es die harmonische Obertonreihe nur in geschlossenen Luftsäulen, also in allen Blasinstrumenten und an einer schwingenden Saiten, also an allen Saiteninstrumenten.

Die Überschrift lautete „Ist die Welt Klang?“. Damit habe ich eine Frage aufgeworfen, die auf das Werk von Behrend, „Nada Brahma, oder die Welt ist Klang“ zurück geht. Auch die Hamonik befasst sich seit Hans Kayser mit dieser Frage. Das Werk  von Hans Custo „Die Kosmische Oktave“ bewegt sich ebenfalls um diesen Themenkomplex.

Behrend zitiert viele Philosophen und Wissenschaftler, hält sich dabei aber bedeckt, wenn es um Konkretes geht. Hans Custo Postuliert ein Oktavgesetz, das er mit der Titus Bode Reihe und mit den Sphärics begründen will. Seine Argumente reichen natürlich bei weitem nicht aus, um etwa eine Obertonreihe als etwas natur gegebenes zu betrachten.

Wege zu einer ursprünglicheren harmonikalen Auffassung

Die Philosophie der Zahl

Wenn man sagt, dass jede beliebige Länge mit einem Metermaß in Einheiten zerlegbar ist, dann bedeutet das dass die Zahl an und für sich Grundsubstanz dieser Welt ist. Nun gibt es Philosophien, die besagen, dass Zahl eine Erfindung des Menschen sei. Problematisch dabei ist, zu erklären wie man dann mit Zahlen die Welt so gut erfassen und Abbilden kann. Technik und Wissenschaft hätte sich ohne die Erfindung der Zahl nicht entwickelt. Technik folgt den Entdeckungen der Wissenschaft und baut mit deren Erkenntnissen Maschinen, mit denen wir wie Welt abbilden und bewältigen können. Das funktioniert nur deshalb, weil wir die Naturgesetze mit mathematischen Methoden erfassen können. mathematische Methodik bedient sich vor Allem der Zahl. Ein weiteres wichtiges mathematisches Werkzeug ist aber auch Symmetrie. Sowohl Zahl, als auch Symmetrie sind offenbar den Naturgesetzen immanent. Warum das so ist, wissen wir bis heute nicht. Es könnte ja genauso gut sein, dass die Naturgesetze mathematisch gar nicht erfassbar wären. Ich möchte hier nochmals deutliche machen, dass es keineswegs als selbstverständlich betrachtet wird, dass dies so zu sein scheint.

„Der große Baumeister scheint ein Mathematiker zu sein“ (15)

Diese Grundaussage ist nicht modern. Sie existiert nun schon seit zweieinhalbtausend Jahren, wurde immer wieder neu formuliert und wurde erstmals von den  Pythagoreern überliefert.

Wir müssen nun klären, warum die Zahlen in dieser Art von pythagoreischer Betrachtung so große Bedeutung hat. Zunächst zählen wir das, was wir als gleich erachten. Also etwa zwei Löffel, oder zwei Bleistifte oder zwei Tische. Bei letzterem stellen wir fest, dass ein Tisch sehr unterschiedlich aussehen kann. Dennoch tun wir so, als wäre etwas an ihnen gleich. Es ist der Begriff „Tisch“ den wir zählen, nicht der vor unseren Augen stehende und greifbare Tisch.

Das vor uns stehende Objekt und seine Benennung  ist also etwas grundsätzlich Unterschiedliches. Schließen wir Eigenschaften wie Farbe, Größe, Material, etc. mit ein, so erhalten wir das, was seit Jahrhunderten als Universalie bezeichnet wird. Ein Jahrhunderte langer philosophischer Streit dreht sich darum, ob ihnen eine Wirklichkeit zukommt, oder ob es bloße Erfindungen menschlichern Geistes sind.

Ich möchte aber hier lediglich die Beziehung zwischen den Substantiven und den Zahlen aufzeigen. Ein Substantiv, wie etwa das Wort Tisch, hat ohne den Zahlbegriff keinen Sinn. Tisch alleine ist sprachlich völlig unsinnig. Entweder meinen wir mit „Der Tisch“ einen einzigen, oder mit „Die Tische“ eine unbestimmte Zahl oder wir zähle sie und versehen das Wort mit einer Zahl.

Bei Zahlen ist das etwas grundsätzlich Anderes. Wir zählen etwa eins, zwei, drei, ohne sagen zu müssen was wir zählen. Zahl alleine kann ohne ein Substantiv da stehen. Die Zahl ist also selbst ein Substantiv. Dabei hat Zahl keine konkrete Gestalt. Es ist eine Abstraktion, die für sich genommen nur durch gegenseitige Bezugnahme Inhalt gewinnt. Etwa wenn wir von geraden oder ungeraden Zahlen sprechen, meinen wir bestimmte Eigenschaften der Zahlen. Was aber Zahl an und für sich ist, wissen wir nicht.

Wir wissen es nicht so, wie wir etwa wissen, was ein Tisch ist. Zahlen kann man nicht anfassen.

Doch wenn wir meinen, ein Tisch sei etwas, wovon wir genau wissen was er sei, wenn wir ihn als sinnlich fassbares Objekt betrachten, so ist das ein Irrtum. Es dauerte zweihundert Jahre bis die Physiker erkannten, dass hinter den Objekten der sinnlichen Wahrnehmung keineswegs eine beständige und tote Materie liegt. Materie wurde seit der Entdeckung der Unschärferelation durch Werner Heisenberg etwas absolut unbekanntes. Die Physik erfasst Materie nicht bis unendlich kleine Dimensionen. Es gibt eine Grenze. diese Grenze, als Planksches Wirkungsquantum bekannt, stellt ein Produkt dar. Ein Produkt aus Weg und Impuls (Stoßkraft) oder ein Produkt aus Energie und Frequenz. Je nach Festlegung des einen lässt sich das andere mit begrenzter Genauigkeit bestimmen.

Wer nun meint es sei dies eine Grenze der messbaren Genauigkeit, der irrt. Es ist eine prinzipielle Grenze. Wenn also etwa der Ort eines Teilchens mit unbegrenzter Genauigkeit gemessen werden könnte, so wäre der Impuls vollkommen unbekannt und das nicht deshalb, weil er nicht gemessen werden kann, sondern weil der dann nicht mehr existiert. Das Gleiche gilt für Frequenz und Energie.

Wir können Ort und Impuls nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit messen, weil Ort und Impuls einer Größe nicht gleichzeitig existieren. (16)

Diese Erscheinung der wechselseitigen Existenz zweier Größen nennt Niels Bohr Komplementarität. Um ein Beispiel zu nennen. Wenn wir ein Atom als winziges Monochord betrachten und wir könnten die Frequenz exakt bestimmen, so wäre die Energie der zugehörigen Frequenz nicht mehr vorhanden. Das Objekt würde sich also einer messbaren Wahrnehmung vollkommen entziehen.

Diese „Nicht Existenz“ in welche die Quantenphänomene wechselweise eintauchen und wieder erscheinen ist etwas, das verschiedene Physiker dazu veranlasst hat über die Welt als Ganzes noch einmal neu nachzudenken.

Kehren wir zurück zu unserem Beispiel. Was uns also von dem sinnlich wahrnehmbaren Tisch unseres Beispiels bleibt, ist die sinnliche Wahrnehmung und die Benennungen, die wir dem Tisch geben. Also im Grunde nur Erscheinungen unseres Bewusstseins. Wenn wir nun zur Betrachtung der Zahlen zurück kehren, so müssen wir feststellen, dass wir für Zahlen stets Symbole verwenden. Zahl an und für sich ist etwas, das sich unserer sinnlichen Wahrnehmung entzieht. Obwohl wir Eigenschaften der Zahlen definieren können, obwohl wir ständig mit ihnen hantieren und zählend umgehen, wissen wir im Grunde nicht was Inhalt dieser Symbolik ist.

Eine Erscheinung unsers Bewusstseins ist aber auch die Zahl. Insofern sind Zahlen und sinnliche Wahrnehmungen nur dadurch unterschieden, dass das Zahl ein sinnlich nicht wahrnehmbares Objekt, der Tisch ein sinnlich wahrnehmbares Objekt ist. Beide sind Objekte unseres Bewusstseins.

Bei der Untersuchung was Zahlen sind, haben wir die Eigenschaft ihrer Reihenfolge durch Zählen verwendet. Wenn wir dabei bleiben und zählend durch die Reihe der ganzen Zahlen gehen, so gelangen wir einerseits in die Unendlichkeit, andererseits auf die erste Zahl Eins. Wir können feststellen, dass die Ganzen zahlen die Grundlage aller anderen Zahlendefinitionen bilden. Unter den ganzen Zahlen ist die Eins das Element aller anderen. Wenn wir dem Zahlbegriff also auf die Spur kommen wollen, müssen wir versuchen herauszufinden, was die Zahl Eins ist.

Dazu stellen wir uns einen Lichtpunkt in völliger Dunkelheit vor. Der Lichtpunkt soll nun das Symbol für die Zahl eins sein. Sofort kommt die Idee, nun den Vorgang der Wahrnehmung in drei Teile zu zerlegen. Subjekt, Objekt, Erkenntnisraum. Subjekt, das bin ich, der ich das Objekt, den Lichtpunkt als Symbol der Zahl Eins sehe und den Erkenntnisraum, die Dunkelheit drum herum.

Um nun zu einer Einheit zu gelangen, ist es zumindest gedanklich nötig, sich vorzustellen, man verschmelze mit dem Lichtpunkt. Damit sind Subjekt, Objekt, Erkenntnisraum eins und sie existieren in ihrer Funktion nicht mehr. Eine Wahrnehmung ist nun nur noch als ICH BIN, oder SEIN möglich.

Die Einheit der Welt und die Pythagoreer

Hinter dem Symbol der Einheit, jener Zahl, welche Grundlage aller Zahlen ist, verbirgt sich also das ewige Subjekt, ohne ein Objekt. Diese Idee wurde aber im Zusammenhang mit der Unschärferelation schon von Werner Heisenberg erkannt. Er sagt:

Vielleicht haben wir durch die Zusammenhänge, die wir in den letzten dreißig Jahren in der Naturwissenschaft dazugelernt haben, eine größere Weite des Denkens gewonnen. Der Begriff der Komplementarität zum Beispiel, den Niels Bohr jetzt bei der Deutung der Quantentheorie so sehr in den Vordergrund stellt, war ja in den Geisteswissenschaften, in der Philosophie keineswegs unbekannt, selbst wenn er nicht so ausdrücklich formuliert worden ist. Daß er in der exakten Naturwissenschaft auftritt, bedeutet aber doch eine entscheidende Veränderung. Denn erst durch ihn kann man verständlich machen, daß die Vorstellung eines materiellen Objektes, das von der Art, wie es beobachtet wird, ganz unabhängig ist, nur eine abstrakte Extrapolation darstellt, der nichts Wirkliches genau entspricht. In der asiatischen Philosophie und in den dortigen Religionen gibt es die dazu komplementäre Vorstellung vom reinen Subjekt des Erkennens, dem kein Objekt mehr gegenübersteht. Auch diese Vorstellung wird sich als eine abstrakte Extrapolation erweisen, der keine seelische oder geistige Wirklichkeit genau entspricht. Wir werden, wenn wir über die großen Zusammenhänge nachdenken, in Zukunft gezwungen sein, die – etwa durch Bohrs Komplementarität vorgezeichnete – Mitte einzuhalten. Eine Wissenschaft, die sich auf diese Art des Denkens eingestellt hat, wird nicht nur toleranter gegenüber den verschiedenen Formen der Religion sein, sie wird vielleicht, da sie das Ganze besser überschaut, zu der Welt der Werte mit beitragen können. (17)

Friedrich von Weizsäcker befasst sich in seinem Werk Einheit der Natur im Zusammenhang mit diesem Problem, mit dem Platondialog Phaidon. Dabei geht Weizsäcker auf eben die gleiche Vorstellung eines absolut Seienden ein. Im Phaidon wird auf andere Weise hingeführt. Alle rational logischen Begrifflichkeiten werden hier ad Absurdum geführt, um zu zeigen, dass dem Seienden kein Attribut mehr gegeben werden kann, es ist ohne Eigenschaft und über es kann nichts mehr ausgesagt werden, da es als reines Subjekt niemals Objekt sein kann. Daher zielen alle objektiv gefassten Begriffe ins Leere.

Da wir nun in aller Kürze festgestellt haben, dass die Objekte der sinnlichen Wahrnehmung keine Objekte im Sinne einer unabhängig gedachten Materie sind, können wir nun weiter feststellen, dass die Begrifflichkeiten der Sprache sehr wohl eine Realität darstellen. Ohne sie könnten wir unsere Welt nicht erfassen, ja ohne sie bliebe die reine Quantenwelt, welche in absolutem Sein ruht, über das nichts ausgesagt werden kann. Man kann soweit gehen und behaupten, die Begriffe unserer Sprache ist ein feststehender Teil unserer Wirklichkeit. Hinter den sinnlichen Wahrnehmungen verbergen sich keine Dinge im Sinne einer unabhängigen Stofflichkeit. Es kommt also entscheidend darauf an, wie wir die Begriffe unserer Sprache bilden und welche Analogien wir damit verbinden.

Insofern kommt nun der Aussage der Pythaoreer „Zahl ist das Weiseste“ eine größere Bedeutung zu. Für die Pythagoreer waren Zahlen Teil der Schöpfung. In den Eigenschaften der Zahlen sahen sie Prinzipien des Kosmos und Werte höheren Seins. Diese Idee, Zahlen als Elemente allgemeiner Grundbedeutungen zu sehen, hat sich mit Hans Kayser in die Neuzeit überliefert. Hier liefert der Jungsche Begriff des Archetypus einen Anknüpfungspunkt zur Pythagoreischen Symbolik der Zahl.

Besinnt sich nun die Harmonik wieder auf diese ursprünglich auch im Pythagoreismus begründete Anschauung und stellt die Zahl in den Mittelpunkt, so gebührt ihr jener Rang, den die Quantenphysik in die Moderne eingebracht hat und mehr und mehr an Bedeutung gewinnen wird.

Fußnoten:

De institutione musica : Von der musikalischen Unterweisung: Liber I : 1.Buch Lat.. Text nach Gottfried Friedlein, Leipzig  Teubner) 1867 und ins Deutsche übersetzt von Hans Zimmermann, Görlitz 2009

Nikomachos von Gerasa, ein antiker neupythagoreischer Philosoph, Mathematiker, Musiktheoretiker. Geb. ca. 100 n. Chr.

Rudolf Haase, Geschichte des harmonikalen Pyhtagreismus, S12.

Lautstärke entspricht der Amplitude einer Tonfrequenz. Eine Funktion 0,5 sin(2x) erfährt durch den Faktor 0,5 eine Halbierung der Amplitude.

Hans Kayser Lerhbuch der Harmonik, Occident Verlag 1950, S.22f

O.a.a. S.23

j. Michel, W. Wagner, Maßsysteme der Tempel, S.64

http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Kayser

Quelle: KREIS DER FREUNDE UM H A N S K AY S E R BERN, MITTEILUNGEN Nr. 52 Auflage 800 Ex. Mai 2004, 30. Jg. Die Harmonik der Welt, Dort: Die Geschichte des harmonikalen Denkens

Eine Einführung (aus Tattva Viveka Nr. 20) von Prof. Dr. Rudolf Haase und Prof. Dr. Werner Schulze

Rudolf Haase, Geschichte des harmonikalen Pyhtagreismus, S12.

ABC Musk, allgemeine Musiklehre, Ziegenrücker, Breitkopf & Härtel, Neuausgabe 1996, S.96

http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_in_der_Schmiede#Ambosse

De institutione musica : Von der musikalischen Unterweisung: Liber I : 1.Buch Lat.. Text nach Gottfried Friedlein, Leipzig  Teubner) 1867 und ins Deutsche übersetzt von Hans Zimmermann, Görlitz 2009

URL: <http://12koerbe.de/arche/boe-mu1.htm >

Riedweg Christoph, Pythagoras, C.H.Beck, München, 2002, S.46

Feynman P.; Vom Wesen physikalischer Gesetzt, Piper, 2010, 2. Aufl., S.75

Barrow, John D.; Die Natur der Natur; Wissen an den Grenzen von Raum und Zeit, Rohwolt, Hamburg, 1996; S.227.

Heisenberg, Werner: Der Teil und das Ganze, S.104