Inhalt:
Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos – Eine Kulturbetrachtung zur Zahl 5
Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos – Die Säugetiere
Die Geometrie der Zahl 5 – Parkettierungen in der Ebene
Das 5-Eck – Das Pentagramm I.
Das 5-Eck und der goldene Schnitt – Das Pentagramm II.
Der Goldene Schnitt und das goldene Rechteck – Der Omegapunkt
Der „Omegapunkt“ im goldenen Rechteck – Was die Zahl 5 mit dem goldenen Rechteck zu tun hat.
Der Goldene Schnitt im Pflanzenwachstum – Von Blumen und Blättern
Die Mathematik des Lebendigen – Die Hasenfolge oder die Fibonaccreihe
Die Selbstähnlichkeit und Goldener Schnitt – Der goldene Schnitt, ein Fraktal?
Die Konstruktion und der goldene Winkel – Wie Blumen wachsen
Das Problem der Genauigkeit – Wie genau können wir messen?
Die „Stimmung“ der Zahl 5 – Die Musik des goldenen Schnitts

Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos – Eine Kulturbetrachtung zur Zahl 5

„Gleich der Zahl Fünf ist auch der Fünfstern Symbol des Menschen, der fünf Finger, fünf Zehen und fünf Sinne hat und – wie aus den Darstellungen von Leonardo da Vinci und Baldassare Peruzzi bekannt – gleich einem Fünfstern in der Welt steht. Die vier Gliedmaßen entsprechen den vier Elementen, während der Kopf die quinta essentia symbolisiert, jenes geheimnisvolle, unsichtbare fünfte Element, das nur dem Menschen zugänglich ist. Nach antiker Lehre besteht alles, was erschaffen ist, aus den vier Elementen Feuer, Erde, Luft und Wasser. Das Unsichtbare, darüber hinausgehende Element, symbolisiert das Wesentliche, die Bedeutung, den Sinn, der in der Schöpfung verborgen ist, und den nur der Mensch zu erkennen vermag. Aristoteles nannte es Äther und die Alchemisten prägten dafür den Begriff Quintessenz.“
Zitat: Hajo Banzhav

Hildegard von Bingen sieht den Menschen ganz wesentlich durch die Fünf geprägt: Sie teilt ihn senkrecht von Kopf bis Fuß in fünf gleiche Teile, ebenso waagerecht, von den Fingerspitzen des einen ausgestreckten Armes bis zu denen des andern (diese Doppelheit weist auf die heilige Zehn hin).

Bei Jakob Böhme ist die fünfte Gestalt die Liebe. In seiner Schrift Mysterium
Pansophicum äußert er sich im fünften Text im Sinne einer Ambivalenz:
Fünfter Text
1. So denn also von Ewigkeit zwei Wesen sind gewesen, so können wir nicht sagen, daß eines neben dem andern stehe und sich fasse, daß eines das andere ergreife; und können auch nicht sagen, daß eines außer[außerhalb] dem andern stehe und eine Trennung sei; nein, sondern also erkennen wirs, daß das Geist-Leben in sich hineingewandt stehet und das Natur-Leben aus sich und vor sich gewandt stehe.
2. Da wirs denn zusammen einem runden Kugelrade vergleichen, das auf alle Seiten25 gehet, wie das Rad in Ezechiel26 andeutet.
3. Und ist das Geist-Leben eine ganze Fülle des Natur-Lebens, und wird doch nicht ergriffen von dem Natur-Leben. Und das sind zwei Principia in einem einigen Urstande, da jedes sein Mysterium hat und seine Wirkung. Denn das Natur-Leben wirket bis zum Feuer und das Geist-Leben bis zum Lichte der Gloria und Herrlichkeit; da wir dann im Feuer verstehen den Grimm der Verzehrung27 der Wesenheit der Natur und im Lichte die Gebärung des Wassers, welches dem Feuer die Gewalt nimmt, wie vorne in den »Vierzig Fragen von der Seelen«23 gemeldet wird.
4. Und ist uns also erkenntlich eine ewige Wesenheit der Natur gleich dem Wasser und Feuer, welche also gleichwie ineinandergemenget stehen, da es dann eine lichtblaue Farbe gibt, gleich dem Blitze des Feuers; da es dann eine Gestalt hat, als ein Rubin mit Kristallen in ein Wesen gemenget, da es als gelb, weiß, rot, blau in dunkel Wasser gemenget, da es als29 blau in grün ist, da jedes doch seinen Glanz hat und scheinet und das Wasser also nur ihrem Feuer wehret, daß kein Verzehren allda ist, sondern also ein ewig Wesen in zweien Mysterien ineinander, und doch der Unterschied zweier Prinzipien als zweierlei Leben.

Nach Pythagoras ist die Fünf die Zahl der Hochzeit, denn sie ist die Summe der ersten geraden und der ersten ungeraden Zahl 2+3. Gerade zahlen galten als weiblich, ungerade hingegen als männlich. In Schillers Picolomini heißt es:

Fünf ist des Menschen Seele.
Wie der Mensch aus Gutem und Bösem ist gemacht

Bei Eliphas Levi ist das Pentagramm Emblem der Zahl Fünf und als solche bringe es die Herrschaft der Seele über die vier Elemente zum Ausdruck. In der Offenbarung des Johannes erschienen die Seelen mit Eröffnung des fünften Siegels:

Kap.6.9. Und da es das fünfte Siegel auftat, sah ich unter dem Altar die Seelen derer, die erwürget waren um des Wortes GOttes willen und um des Zeugnisses willen, das sie hatten.

Das Pentagramm gilt sowohl als Schutzzeichen, wie auch als das teuflischen Zeichen des Bocks. Als Schutzzeichen sollte es Dr. Faust vor ungebetenen Eindringlingen schützen, doch es war „schlecht gezogen“ und so konnte Mephisto dennoch in faustens Studierstube eindringen.

Mephistopheles.
Gesteh’ ich’s nur! Dass ich hinausspaziere
Verbietet mir ein kleines Hinderniss,
Der Drudenfuß auf eurer Schwelle —

Faust.
Das Pentagramma macht dir Pein?
Ei sage mir, du Sohn der Hölle,
Wenn das dich bannt, wie kamst du denn herein?
Wie ward ein solcher Geist betrogen?

Mephistopheles.
Beschaut es recht! es ist nicht gut gezogen;
Der eine Winkel, der nach außen zu,
Ist, wie du siehst, ein wenig offen.

Faust Teil 1 J. W .v. Goethe

Zusammenfassung:
Das Pentagramm vereint in sich gegensätzliche Symbolbedeutungen.
mit der Spitze nach oben gilt es als Christuszeichen, als Schutzzeichen. Es ist das bekannteste und bedeutendste Schutzemblem des Mittelalters und der Renaissance. Mit der Spitze nach unten gilt es als Bockszeichen der Satanisten. Die Zahl Fünf gilt als Zahl der menschlichen Seele, als Zahl der Quintessenz und Lebensquell.
Die Zahl Fünf gilt als Metapher für die Quintessenz der Alchemie, aus welcher der Stein der Weisen hergestellt wird. Die Fünf gilt auch als Symbol der Seele und des Lebens.
Fünf ist aber ebenso die Zahl der Liebe, wie z.B. als fünfte Qualität bei Jakob Böhme. Das Pentagramm wird in England auch „Lovers knot“ genannt. Doch bei Böhme spiegelt sich ebenso die Ambivalenz der Zahl Fünf wieder, als Trennung in eine nach innen und nach außen gewandte Kraft.

Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos
Alle Säugetiere haben fünfzählige Extremitäten
Ein Beitrag von Kathrin Buchwalsky aus der Sendung Quarks & Co im WDR vom 17.2.2003

Nicht nur der Mensch, sondern alle höheren Säugetiere haben 5-zählige Extremitäten. Ist es nur eine Laune der Natur, dass die Extremitäten aller Säugetiere inklusive die des Menschen fünfzählig sind? Oder sind die Lebensprozesse und Lebensformen aus einem unerfindlichen Grund auf die Zahl Fünf abgestimmt?

Die Geometrie der Zahl 5
Wenn man eine ebene Fläche parkettiert, so kann man das mit Dreiecken Sechsecken und Quadraten problemlos tun ohne dass Lücken bleiben. Mit regelmäßigen Fünfecken ist das nicht mehr möglich (Siehe Abbildung). Die 7-Eck Parkettierung bildet Überlappungen Die Fünfecke lassen Spalte, die man nicht mehr mit weiteren Fünfecken schließen kann. Die Fünf tanzt hier gewissermaßen aus der Reihe. Sie fügt sich nicht mehr in eine ebene Fläche ein und lässt Lücken.

Will man eine 5-Eck Parkettierung schließen, so entsteht ein räumlicher Körper. Die 7-Eck Parkettierung ist zwar Lückenlos, lässt sich aber nicht überlappungsfrei darstellen.

Versucht man mit entsprechenden Strukturen den Raum lückenlos zu füllen, so zeigt sich, dass dies niemals mit fünfzähligen Symmetrien möglich ist. Der Tetraeder und der Oktaeder, als auch der Würfel, können den Raum lückenlos füllen. Diese Körper ergeben aber niemals fünfzählige Symmetrien. Sie münden meist in sechszähligen Symmetrien. Auch die Muster eines Penrose sind keine Fünfecke, sondern aus Teilflächen verschachtelte Figuren. Das 7-Eck und alle Polygone mit mehr als sechs Ecken überlappen sich gegenseitig. Nur das regelmäßige Fünfeck lässt eine Lücke und fordert dazu auf, einen Körper zu bilden, den Pentadodekaeder, einer der fünf platonischen Körper.

Das Füllvermögen der Flächen und Raumstrukturen, 3- , 4-, und 6-zähliger Symmetrien führt dazu, dass fünfzählige Strukturen niemals in Kristallen auftreten. Sie sind jedoch häufig in lebendigen Organismen zu finden.

Es scheint, als ob sich die Fünf nicht in geschlossene und einheitliche Symmetrien einbinden lässt, sie rebelliert gegen regelmäßige Strukturen wie Luzifer, der schöne Engel, der sein wollte wie Gott und deshalb aus seinem Reich vertrieben wurde. Das gleiche Schicksal teilten die ersten Menschen mit ihm. Daraufhin sandte Gott seinen eingeborenen Sohn, um die Menschen aus dem Reich der von Satan beherrschten Welt zu erlösen. Diese Allegorie enthält die vollständige Symbolik der Zahl Fünf. Möglicherweise haben frühe Kulturen ihr Wissen so verschlüsselt weiter gegeben.
Das Äquivalent der Fünf ist der Fünfeckstern, auch Pentagramm genannt. Es fungiert als Schutzzeichen, wenn mit einer Spitze nach oben betrachtet und als Satanssymbol, wenn mit zwei Spitzen nach oben gewandt.
Siehe auch hier: Dagmar Wiechoczek

Das 5-Eck
Die Strecken a und c des 5-Ecks, sind die Strecken, die sich als erstes innerhalb des 5-Ecks bilden lassen. Die Strecke b ergibt sich aus c-a. Setzt man die Strecken zueinander ins Verhältnis, so sieht man, dass es sich um einen einzigartigen Sonderfall handelt. Die kürzere Strecke b verhält sich zur längeren a wie die längere a zur ganzen c = a + b Die Gleichung lautet: b/a=a/(a+b)

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:

Die Flächen A und B stehen ebenfalls in diesem Verhältnis. Es verhält sich die kleinere Fläche B zur größeren A, wie diese A zur Ganzen A+B.
Die Gleichung lautet wie bei den Linienstücken B/A=A/(A+B). Man kann nun genauso verfahren wie bei den Strecken und kommt zum gleichen Ergebnis:

Das Fünfeck enthält in Längen und Flächenproportionen den goldenen Schnitt

Den Zahlenwert nennt man den Goldenen Schnitt. Die Art der Teilung heißt stetige Teilung. Stetige Teilung deshalb, weil sich dieses Verhältnis stetig fortsetzen ließe. Am schönsten lässt sich dies veranschaulichen, wenn man aus den Strecken a und b ein Rechteck bildet. Ein solches Rechteck heißt goldenes Rechteck, weil die Seiten sich zueinander im goldenen Schnitt verhalten. Der Zahlenwert g (Minor des Goldenen Schnitts) und seinen Kehrwert 1/g=G (Major des Goldenen Schnitts). Diese Ziffer auf dem Taschenrechener eingegeben und den Wert 1/x berechnet, ergibt lediglich eine Änderung vor dem Komma alle Nachkommastellen bleiben erhalten.
Minor
g= 0,61803398874989484820458683436564…
Major
G= 1,61803398874989484820458683436564…

Das 5-Eck und der goldene Schnitt
Das regelmäßige Fünfeck enthält in allen seinen Bestandteilen, sowohl Linien als auch Flächen, Proportionen des Goldenen Schnitts.
Im nebenstehender Skizze verhalten sich:

S2/S1=g

S1/S3=g

S3/S4=g

Es gibt vier unterschiedliche Flächen A, B, C, und die Gesamtfläche des Fünfecks.

B:A=g

Die Innenfläche verhält sich zur Gesamtfläche wie 1:g4

C:B=1+2g

C:A=1+g2

Es gibt vermutlich in Pentagramm keine Längen- oder Flächenproportion, die nicht im Verhältnis des goldenen Schnitts und dessen Potenzen stehen.

Das Fünfeck und das ihm einbeschriebene Pentagramm ist ein vollkommener Ausdruck des goldenen Schnitts.

Das Fünfeck und das ihm einbeschriebene Pentagramm ist ein vollkommener Ausdruck des goldenen Schnitts.

Der goldene Schnitt und das goldene Rechteck

Die stetige Teilung

Teilt man vom goldenen Rechteck ein Quadrat ab, so ist die Restfläche wieder ein goldenes Rechteck. Von diesem kann man wieder ein Quadrat abteilen und es bleibt als Restfläche wieder ein goldenes Rechteck. Dieser Vorgang kann endlos fortgesetzt werden. Dabei streben die immer kleiner werdenden Restflächen in einer Spiralbewegung einem Punkt zu. Dieser Punkt oder Grenzwert, wird durch die stetige Teilung immer weiter angenähert, aber niemals erreicht.

Der Omegapunkt im goldenen Rechteck

Was die Zahl 5 mit dem goldenen Rechteck zu tun hat.

Der Punkt Omega, um den sich die goldene Spirale dreht, liegt auf den Diagonalen zweier goldener Rechtecke (Siehe oben). Vier dieser Punkte kann man bilden. Das einbeschriebene, schraffierte Rechteck (Bild unten), nimmt ein Fünftel der Gesamtfläche ein.

Der Goldene Schnitt im Pflanzenwachstum

Wenn man Blütenkelche genau betrachtet, dann fällt auf, dass die Blütenkörbchen Spiralmuster zeigen. Nur in wenigen Exemplaren sind sie aber so ungestört und Symmetrisch, wie in den Bildern unten.

Nicht nur Blütenkelche und Knospen weisen Spiralmuster auf, sondern auch die Nadeln an den Kiefernzweigen und anderen Nadelbäumen sind in Mustern mit rechts und linksläufigen Spiralen angeordnet.

Die Anzahl der links und rechts gewundenen Spiralen in den dargestellten Beispielen sind …3,5,8,13,21,34, … Es sind dies die Ziffern der Fibonaccireihe. Der Quotient aus zwei benachbarten Ziffern ergibt eine Näherung an den Goldenen Schnitt, die um so genauer ist, je größer die Ziffern werden.

Die Mathematik des Lebendigen

Die Anzahl der Spiralen hängt nicht von der Pflanzenart ab, sondern von der Größe des Blütenkelches, obwohl manche Pflanzen niemals eine große Zahl von Spiralen zustande bringen. Wenn man die Anzahl der rechts und linksläufigen Spiralen anschreibt,…,3,5,8,13,21,34,…dann kommt man auf die sogenannte Fibonacci Reihe, so benannt nach dem Mathematiker Leonardo von Pisa. Leonardo von Pisa wurde zwischen 1170 und 1180 geboren und wurde bekannt unter dem Namen Fibonacci. Er entdeckte, diese eigenartige Zahlenreihe.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,..
Diese Reihe hat die Eigenschaft, dass jeweils die Summe aus zwei Vorgängerzahlen Fn-1 und Fn, die nächste Zahl Fn+1 bilden. Man beginnt bei F0=0 und F1=1
F2 =0+1=1, F3 =1+1=2; F4 =1+2=3; F5 =2+3=5 usw.
Die Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen nähern sich immer genauer dem Goldenen Schnitt an, je größer die Ziffern werden.

Lukaszahlen: Nimmt man zwei beliebige Zahlen und verfährt wie mit den Fibonaccizahlen, so nähern sich die Quotienten zweier benachbarter Ziffern dem Goldenen Schnitt an.
Siehe dort: http://www.mathematik.ch/puzzle/solut31.php
Dies zeigt, dass der Goldene Schnitt lediglich durch einen Algorithmus, zustande kommt. Die dabei verwendeten Anfangszahlen spielen nur eine untergeordnete Rolle. Der Goldene Schnitt entsteht also durch eine Bewegung, oder Handlungsanweisung und bildet somit ein Fraktal. Dieses weist auch Selbstähnlichkeit auf.

Zahlenfolgen weisen auffällige periodische Wiederholungen der Endziffern auf. Bei den Fibonacci-Zahlen kehrt nach einer Periode von 60 die Folge der Endziffern wieder. Nach einem Zyklus von 300 wiederholen sich die letzten zwei Ziffern, nach einem Zyklus von 1500 die letzten drei Stellen und so fort. Bei den Lucas-Zahlen kehren die letzten zwei Ziffern in einem Sechzigerzyklus wieder. Ein weiteres Phänomen ist, dass bei beiden Folgen die Verhältnisse aufeinanderfolgender Werte gegen den Goldenen Schnitt konvergieren
Zitat siehe dort: http://www.ethbib.ethz.ch/exhibit/fibonacci/fibonacci-poster-07-lucas.html

Nun ist 60*5=300 und 300*5=1500 usw. Die Endziffern wiederholen sich also in einem 5-er Zyklus, wie seltsam…

Die Konstruktion und der goldene Winkel

Der genaue Zahlenwert des goldenen Schnitts, wird aus der Konstruktion der stetigen Teilung und der Lösung, der daraus ableitbaren quadratischen Gleichung, erhalten.

Die Konstruktion entspricht der Berechnung des Goldenen Schnitts (Wurzel 5 -1)/2.
Es gibt wesentlich schönere Konstruktionen.
Siehe dort: http://www.goldennumber.net/geometry.htm

Mit dem Wissen um den genauen Zahlenwert des Goldenen Schnitts, kann man nun den Blattstellungen der Pflanzen noch auf eine andere Weise zu Leibe rücken.
Misst man den Winkel, den die Blätter einer schön entwickelten Pflanze mit wechselständigen Blättern zueinander einnehmen, so kommt man auf einen Winkel von ca. 222,5 Grad (bzw. der Ergänzungswinkel 360-222,5=137,5). Das ist annähernd ein Anteil von 0.618.. von 360 Grad. Also wieder der Goldene Schnitt. Die dargestellte Computersimulation unten zeigt, dass die Anzahl der Spiralen lediglich von der Anzahl der vorhandenen Blütenstempel abhängt. Die Genauigkeit des Winkels muss sehr hoch sein, damit das Bild der Spiralmuster entstehen kann.

Man kann sehen, dass auf der grünen Spirale, jeweils im Abstand des goldenen Winkels (ca. 137,5°) Kreise platziert wurden. Diese Kreise sind mit gelben Nummern versehen. So entsteht das Muster einer schön entwickelten Sonneblume, eines Gänseblümchens, und all der anderen Korbblütler. Rot eingezeichnet ist eine rechts und eine links gewundene logarithmische Spirale. Die Anzahl dieser Spiralen sind meist Fibonaccizahlen, selten Lukaszahlen. Im obigen Fall 8 und 13. Rechts unten eine Figur mit kleinerer Steigung der Basisspirale und einer Anzahl von 13 zu 21.

Die Selbstähnlichkeit und Goldener Schnitt

Das Problem der Genauigkeit

Es gibt tausende von Proportionen, sowohl am menschlichen Skelett, als auch bei allen möglichen Tier- und Pflanzenwuchsformen. An allen diesen wird seit Jahrhunderten gemessen und gerechnet. Jedoch sind die meisten dieser Daten nicht exakt genug, um mit Sicherheit sagen zu können, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt. Lediglich der Spiralwuchs der Pflanzen ist so exakt, dass er heute noch wissenschaftlich untersucht wird.

Die „Stimmung“ der Zahl 5

Die Frequenzen der klassischen Dreiklänge in Dur und Moll haben einfache ganzzahlige Verhältnisse. Erklingt beispielsweise der einfache Dur-Dreiklang C-E-G, so verhalten sich die Frequenzen dieser Töne zueinander wie 4 : 5 : 6. Dies gilt jedoch ebenso, wenn wir die Töne nach oben oder unten verschieben. Egal in welcher Oktavlage und egal wie die Instrumente gestimmt sind, unser Ohr erkennt den Dur-Dreiklang in jeder Lage und in jeder Stimmung so, als ob wir die zugrunde liegenden Frequenzen angeschrieben und rechnerisch gekürzt hätten. Man kann daher die Proportionsreihe
4 : 5 : 6
als Glyphe für den Dur-Dreiklang sehen. Unser Ohr scheint alle Frequenzen, welche diesen Proportionen zugrunde liegen sofort zu erkennen, so, als ob es unbewusst rechnen würde.

Der Dur-Dreiklang

Die Proportionen der Frequenzen sind: Die große Terz 4:5 (im Beispiel C-E), die kleine Terz 5:6 (im Beispiel E-G). Der Grundton (C) verhält sich zum oberen Ton (G) wie eine Quinte 2:3 (in der Tabelle 264Hz/396Hz=4/6=2/3). In diese leere Quinte wird eine Terz (C-E) gesetzt und es entsteht der C-Dur Dreiklang, im Beispiel C-E-G

Der klassische Dur-Dreiklang, das sind drei Töne, deren Frequenzen sich verhalten wie
4:5:6
Alle Dur-Dreiklänge haben dieses Frequenzverhältnis.

Der Moll-Dreiklang