Es ist soweit: das Programm für das Harmonik-Symposion 2012 steht, ebenso wie Ort und Zeit. Dazu finden Sie alle Information in der elektronischen Einladung im Anhang. Falls Sie gedruckte Einladungen haben möchte, können Sie sich gerne bei Dr. Hans G. Weidinger (hgw-privat@weidinger-consultant.de) melden, mit Angabe der Stückzahl und Versandadresse.

Um baldmögliche Anmeldung zum Symposion wären wir sehr dankbar. Olga-Maria Hoch wird wieder Privatquartiere wie das letzte Mal organisieren. Wenn Sie daran interessiert sind, können Sie sich bitte direkt bei Ihr melden. (Ihre aktuelle eMail-Adresse lautet: quinte469@aol.de).

Normale Hotelreservierungen übernehme wir gerne in einem Hotel in Fußentfernung zur Musikhochschule (s.u). Ein Standard-Einzelzimmer wird bei €75,00 pro Nacht mit Frühstück liegen. Wir werden versuchen, eine kleine Preisminderung zu bekommen.

Falls Sie selbst reservieren möchte, es ist das

Hotel Klughardt garni
Tauroggenstraße 40
90491 Nürnberg
Tel 0911 / 91 98 8-0
Fax 0911 / 59 59 89
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Bei dieser Gelegenheit wollen wir nochmal darum bitten, dass alle – bis auf diejenigen die es für 2012 schon getan haben - nunmehr den Jahresbeitrag in Höhe von € 60,00 wie folgt überweisen :

Deutsche Postbank, Kontoinhaber: Dr. Hans G. Weidinger
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Verwendungszweck: Jahresbeitrag Harmonik-Netzwerk 2012

bis zum Symposion in Nürnberg!
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Einladung_Harmonik_Symposion_2012

Die Pythagoreer verwendeten ein Instrument, das Monochord genannt wurde. Monochord kommt aus dem Greichischen monos, Eins und Chorda, Saite, bedeutet also wörtlich „Einsaiter“. Bei Boethius nannte man das Monochord noch „Richtholz“ Von Pythagoras ist überliefert, er habe das Gesetz zwischen Klang und musikalischem Intervall im Vorübergehen an einer Schmiede gefunden.
Als er in jener Zeit durch einen göttlichen Wink an Werkstätten vorbeikam, hörte er, wie Hammerschläge auf gewisse Weise aus ihren verschiedenen Klängen zu einem gemeinsamen Ton zusammenklangen.…XI. Auf welche Weisen von Pythagoras die verschiedenen Verhältnisse der Zusammenklänge ausgemessen wurden.
Von dort also nach Hause zurückgekehrt maß er seine Untersuchung mit verschiedenen Experimenten aus, ob das Entsprechungsgesetz der harmonischen Beziehungen mit diesen Größenverhältnissen Bestand habe. Indem er erst einmal gleichgroße Gewichte an Saiten hängte und deren Zusammenklänge mit dem Gehör beurteilte und dann in der Länge von Rohren doppeltes und halbes Maß herstellte und die weiteren Größenverhältnisse einhielt, erreichte er durch verschiedene Erfahrungen hindurch absolute Zuverlässigkeit. Oft auch, wenn er zur genauen Ausmessung Becher gleichen Gewichts in Schalen einsetzte, und wenn er oft auch ebendiese Schalen, in verschiedenen Gewichten ausgeformt, mit einem ehernen oder eisernen Stock anschlug, freute er sich, keine Abweichungen zu finden. Davon veranlasst machte er sich daran, Länge und Dicke von Saiten zu erforschen. Und so erfand er ein Richtholz, über das wir weiter unten sprechen wollen, das seinen Namen von der Sache nimmt, nicht weil das Richtholz ein hölzernes ist, mit dem wir Saitenlänge und Klang messen, sondern weil dieses Richtholz ein so sicher genormtes Untersuchungsmittel ist, dass es keinen Forscher durch eine falsche Angabe täuscht.(1)
Der Text wurde ca. 700 Jahre nach Pythagoras vom römischen Philosophen und Mathematiker Boethius niedergeschrieben. Boetiuns nannte noch „Richtholz“, was später Monochord genannt wurde.Erst mit Hans Kayser, Kunst- und Musiktheoretiker, wurde die Pythagoreische Betrachtung im 20. Jahrhundert wiederbelebt. Sein Schüler Rudolf Haase, der in Wien einen Lehrstuhl für harmonikale Forschung eingerichtet hatte schreibt:
Im engsten Zusammenhang mit der Proportionslehre steht das Monochord, beziehungsweise der Kanon, da die Bezeichnung Monochord erst durch Nikomachos(2) eingeführt wurde. Mit seiner Hilfe dürften die Proportionen untersucht, wenn nicht überhaupt erst entdeckt worden sein; denn die weit verbreitete Legende, der zufolge Pythagoras die Proportionen beim Besuch einer Schmiede entdeckte, ist bekanntlich akustisch unmöglich verifizierbar. (3)
Diese nicht verifizierbare Legende und die damit verbundenen Experimente wurden also fernerhin konsequent ausgeblendet. Das Monochord war das zentrale Experimentierfeld der Harmonik nach Hans Kayser. Wir wollen zuerst untersuchen, was es mit dem Monochord auf sich hat und untersuchen dann die Frage, warum nur dieser Teil der überlieferten Legende weiter Verwendung fand, der andere Teil jedoch unterschlagen wurde.

Das Monochord und die schwingende Saite

Heute verwendet man das Monochord mit mehreren Saiten. Zweck dieses Instruments ist den Zusammenhang zwischen Saitenlänge und Tonhöhe (Frequenz) zu demonstrieren. Ähnlich wie auf einer Gitarre werden die Saiten beim Spielen nur geringfügig verspannt. Eine Verspannung der Saite ergäbe sich beispielsweise, in dem man hohe Stege unter die Saite schiebt. Das würde die Saite zusätzlich dehnen und somit den klang, genauer, die Frequenz verstimmen. Beim Monochord kommt es aber darauf an, dass die Saiten gleich gestimmt sind, damit man die Länge ins Verhältnis zur Frequenz setzen kann. Die Stege sind beim Monochord verschiebbar, damit man unterschiedliche Saitenlängen einstellen kann. Was mit dem Monochord demonstriert werden sollte, war der Zusammenhang zwischen Zahl und Ton. Betrachtet man eine schwingende Saite, so erkennt man zunächst die Grundschwingung, im Bild 2.0 ganz unten. außer dieser Grundschwingung sind es aber die Obertöne, im Bild 2.0 über der Grundschwingung dargestellt, welche der Saite ihren Klang geben. Der erste Oberton besitzt nun bei der schwingenden Saite exakt die doppelte Frequenz, so dass das Frequenzverhältnis von Grundton zu 1. Oberton 1:2 beträgt. Die Längen verhalten sich genau umgekehrt, nämlich 2:1.

Es sind nun noch weitere Obertöne, bis zum 5. Oberton dargestellt. Letzterer hat exakt die sechsfache Frequenz der Grundschwingung. Nimmt man eine Saite mit einer Länge von 120cm, so kommen die Schwingungsknoten genau dort zu liegen, wie sie in bild 2.0 angegeben sind.
Es gibt natürlich noch weitere Obertöne, die aber immer leiser werden und somit klanglich in den Hintergrund treten. Bei einem Saiteninstrument sind das etwa 20 Obertöne, die noch hörbar sind. Lautstärke und Anzahl der Obertöne ergeben die Toncharakteristik des Instruments. Trompeten mit ihrem metallischen Klang haben bis zu 30 und mehr Obertöne. Holzinstrumente dämpfen die hohen Töne zumeist stark, so dass der Klang tiefer und wärmer wirkt. Diese Art einer Obertonreihe nennt man in der Technik harmonisch, weil in ihr die als harmonisch empfundenen Intervalle klingen.
Man kann nun die einzelnen Obertöne der harmonischen Obertonreihe isolieren. Dies bewerkstelligt man, in dem man am Schwingungsknoten entweder mit dem Finger wie beim Flageolett – Spiel, oder mit einem Steg abgreift, siehe Bild 2.1.

Dadurch wird die Saite gezwungen, in diesem einen Ton, der noch möglich ist, zu schwingen. Die Saite schwingt nun nicht asymmetrisch, sondern in symmetrischer Form, wie auf Bild 2.1 gezeigt. Man nennt die in Bild 2.1 dargestellte Schwingungsform, Schwingungsmode oder nur kurz Mode. In Bild 2.0 sehen wir, dass jeder Oberton eine Mode besitzt.

Warum die Moden so regelmäßig und Symmetrisch aussehen kann man leicht erklären. Von der Stelle, an der die Saite angezupft wird, breitet sich eine Welle nach rechts und links aus. Die Welle wird am Ende der Saite reflektiert. Die reflektierte Welle schwingt gegensinnig, man sagt, sie schwingt mit 180° Phasenverschiebung, also gegenphasig. Dadurch werden alle anderen Schwingungsformen unmöglich. Die Gegenphase und die Gleichphase ergänzen sich zu einer einzigen Welle, siehe Bild 2.2. Letztlich ist für diese Erscheinung das Newtonsche Gesetz Actio = Reactio verantwortlich, denn die Saite übt an den festen Enden eine Kraft aus, die mit einer gleich großen Gegenkraft beantwortet wird. Bildhaft gesprochen könnte man sagen die Saite zieht sich selbst nach oben und unten, wie ein Sportler, der Klimmzüge an einer Stange ausführt und sich dabei wie eine Schlang windet.

Die aufeinander folgenden Obertöne haben jeweils Frequenzverhältnisse von ganzen Zahlen, wie rechts in Bild 2.0 angegeben. Es erklingen die Intervalle unserer diatonischen Tonleiter. Hier in anderer Reihenfolge, als in einer Tonleiter. Diese Reihenfolge der Intervalle ist nach Obertönen geordnet. Jeder Oberton hat eine ihm eigene Mode. Die Moden und ihre zugehörigen Obertöne kann man separieren, wie wir gesehen haben, in dem man Flageolet – Töne spielt.

In der Realität überlagern sich die Moden, denn sie erscheinen und erklingen gleichzeitig, wenn man die Saite irgendwo anzupft. Eine solche Schwingung sähe beispielsweise aus wie in Bild 2.3. Ich habe die dazugehörige Gleichung angegeben. Fett gedruckt sind die Lautstärken.(4) Der erste Oberton ist 0,5, oder halb Mal so laut, wie der Grundton. Die Faktoren sind willkürlich gewählt. In Wirklichkeit richtet sich die Abnahme der Amplituden nach den Gegebenheiten des Instruments und muss gemessen werden.

Der Schwingung kann man so nicht mehr ansehen, dass in ihr die einzelnen Moden der Obertöne enthalten sind. Man kann aber die Obertöne sehr wohl heraushören. Ebenso lassen sich aus einem beliebigen Ton die Obertöne herausrechnen. Das Verfahren heißt Fast Fourier – Transformation, abgekürzt FFT. Es wurde nach dem französischen Mathematiker Fourier benannt, der die Theorie der Fourier – Transformation entdeckte. Diese Theorie, die längst in die Technik der Frequenzanalyse und Klangsynthese eingeflossen ist, besagt, dass man jeden beliebigen Ton und jede beliebige Schwingungsform in die Komponenten reiner Sinunsfunktionen zerlegen kann. Es bedeutet, dass jede Schwingungsform in reine Sinusformen aufgelöst werden kann. Betrachtet man die Schwingungsform in Bild 2.3, so ist ihr zunächst nicht anzusehen, dass sie aus reinen Sinusformen zusammengesetzt wurde. Die Fourier – Analyse würde so aussehen, wie die Gleichung darunter. Man hat also die ersten Obertöne mit jeweils abnehmenden Amplituden. Umgekehrt kann man also auch jeden beliebigen Klang oder Ton aus seinen Bestandteilen zusammensetzen oder synthetisieren und das nennt man in der Technik kurz FFT. Damit werden Synthesizer gebaut, die jedes beliebige Instrument täuschend Echt nachahmen. Täuschend echt bedeutet, dass der um so Klang natürlicher klingt, je mehr Obertöne man berücksichtigt.

Die Theorie der Fourier – Transformation zeigt, dass man die Klänge dieser Welt aus Sinusfunktionen zusammensetzen kann. Sie besagt aber auch dass Sinusformen oder Sinusmoden elementar sind.

Die harmonische Obertonreihe, dreh und Angelpunkt der Harmonik

Wo nun kommen diese harmonischen Obertonreihen vor. Die Antwort ist einfach. Jede ideale schwingende Saite und jede geschlossene Luftsäule erzeugt solche harmonische Obertonreihen, wenn man von Störungen, die im mikroskopischen Bereich auftreten absieht. Als ideale Saite betrachtet man Saiten, die so dünn sind, dass man deren Masse und Steifigkeit rechnerisch vernachlässigen kann. Das klingt zunächst recht konstruiert, ist e aber nicht, denn alle Saiten- und Blasinstrumente erzeugen solche harmonischen Obertonreihen. Unsere Musik ist also von harmonischen Obertonreihen geprägt. Setzt man die erzeugende Saitenlänge oder die erzeugende Länge einer Luftsäule ins Verhältnis zu ihrer Frequenz, so ha man ein umgekehrt proportionales Verhältnis von Wellenlänge zu Frequenz. Das ist die Quintessenz aller Experimente, die man am Monochord der Pythagoreer durchführt.

Nun kann man diese Erscheinung in knapper Form anschreiben.

c = lx f

Dabei ist c die Wellengeschwindigkeit, l die Wellenlänge und f die Frequenz. Nun muss man wissen, dass die Grundschwingung, wie in Bild 2 zu sehen, eine halbe Welle ist. Wenn wir eine Monochord – Saite mit einer Länge von 120 cm auf den Grundton von 256Hz stimmen, so beträgt die Wellenlänge des Grundtons 240cm. Die Geschwindigkeit c, mit der sich eine Welle über die Saite ausbreitet ist dann 256Hz x 2,4 m = 614,4 m/s, also beinahe doppelte Schallgeschwindigkeit. Alle gleich gestimmten Saiten mit gleicher Dicke und aus gleichem Material haben die Selbe Wellengeschwindigkeit. Dies ist der tiefere physikalische Grund, warum sich der einfache Zusammenhang zwischen Frequenz und Form der Obertöne, wie in Bild 2.0 dargestellt, ergibt. Schreiben wir die in Bild 2.0 gezeigten Obertöne in eine Tabelle, so wird der Zusammenhang klarer.

Die Zeile „Halbwelle“ ist die Länge einer stehenden Halbwelle. Diese Längen sind in Bild 2.0 eingetragen.

Multipliziert man Wellenlänge und Frequenz der Tabelle, so erhält man stets die Wellengeschwindigkeit c = 614,4 m/s, gleichzeitig sind die Frequenzen Obertöne der Grundfrequenz 256 Hz. Um mit der Zählweise besser zu recht zu kommen wurde der Begriff Teilton eingeführt. Es ist 256 x 6 = 1536 Hz, der 5. Oberton und 0,2 m ist 1/6 der ganzen Saitenlänge L von 1,2 m am Monochord mit 120cm Mensur- oder Saitenlänge. Die Gleichung für Stehende Wellen am Monochord lautet:

c = f x 2L

Dabei ist die Wellenlänge l = 2L. Wir werden diese Gleichung später noch einmal sehen und dann verstehen in welchem Zusammenhang sie steht. Der dargestellte Zusammenhang beschäftigte eine ganze Generation von Harmonikern, die in der Nachfolge von Hans Kayser forschten und philosophierten. Kayser hatte das Wissen um die Intervalle vor Allem mit der pythagoreischen Philosophie verbunden. Seine umfassenden Betrachtungen hinterließen den Eindruck, als sei die harmonische Obertonreihe das zentrale Feld pythagoreischen Wissens und Ausgangspunkt einer philosophischen Weltbetrachtung.

Die Harmonik im 20. Jahrhundert

Hans Kayer, war der Begründer der Harmonik. Er hat Pythagoreische und Überlieferungen aus aller Welt mit modernem Wissen um die Akustik der Musikinstrumente in einer Synthese vereint. Daraus leitete er das Primat der ganzen Zahlen und der harmonischen Obertonreihe ab. Harmonk im kayserschen Sinne ist vor Allem gegründet auf Zahl und die harmonische Obertonreihe.

Zitat aus Hans Kaysers Lehrbuch der Harmonik (5)

Was Kayser hier beschreibt ist das Gesetz c = lx f , wie wir es bereist dargestellt haben.

Kayser erweckt den Eindruck, jede beliebige Tonerzeugung, also „irgendeine Grundschwingung“ (6) gehorche dem Gesetz c = lx f, wie es bei idealen Saiten und schwingenden geschlossenen Luftsäulen der Fall ist.

Diesen Sonderfall der Akustik, den Kayser als allgemeinen Fall unterstellt, nimmt Kayser als Ausgangspunkt für eine allgemeine Weltbetrachtung.

Auf diese Weise ergeben sich sieben Töne pro Oktave, welche den tatsächlichen Oberschwingungen einer Saite entsprechen und damit auch den wirklichen Formbildungsprozessen, wenn sich Schwingungen in Materie manifestieren (7)

Die Harmoniker des 20. Jahrhunderts erlagen dem Kayserschen Postulat: „Das Hauptanliegen der Harmonik ist es, kleine Proportionen ganzer Zahlen als kosmische Normen auszuweisen“ (8)

Die Oktave hat die Proportion 2:1, die Quinte 3:2, die Quarte 4:3, die große Terz 5:4, die kleine Terz 6:5, und so weiter. Diese Verknüpfung von Intervall-Qualitäten, die – als Wahrnehmungsinhalte – psychisch erlebbar sind, mit Proportions-Qualitäten, die – als mathematische Entitäten – rational verstehbar sind, kann am Monochord auf einfache Weise hör- und sichtbar gemacht werden. Die mathematischen Gesetze der musikalischen Grundlagen sind zugleich allgemeine Naturgesetze – so dachte man bereits in der Antike, und die moderne harmonikale Forschung verfolgt denselben Weg. Jene naturwissenschaftliche Disziplin, in der uns die harmonikalen Gesetze unmittelbar begegnen, ist die Akustik; Obertöne erklingen bei jeder Tonerzeugung, und die geschlossene Obertonreihe hat die Proportionenfolge 1:2:3:4:5 usw. mit den Intervallen Oktave – Quinte – Quarte – große Terz- usw. (9)

Das Monochord galt als das zentrale Instrument, an dem man das als allgemein angenommene Gesetz der harmonischen Obertonreihe demonstrierte. Vor Allem gestützt auf die überlieferte Verwendung des Monochords bei den Pythagoreern, sah man sich in dessen Nachfolge bestätigt.

Im engsten Zusammenhang mit der Proportionslehre steht das Monochord, beziehungsweise der Kanon, da die Bezeichnung Monochord erst durch Monochord – Saite eingeführt wurde. Mit seiner Hilfe dürften die Proportionen untersucht, wenn nicht überhaupt erst entdeckt worden sein; denn die weit verbreitete Legende, der zufolge Pythagoras die Proportionen beim Besuch einer Schmiede entdeckte, ist bekanntlich akustisch unmöglich verifizierbar.(10)

Die harmonische Obertonreihe mit den Frequenzen 1, 2, 3, 4, usw., ist keineswegs ein allgemeines Phänomen, sondern viel eher eines unter vielen. Wieso es so ausschließlich Verwendung fand liegt wohl in der Tatsache, dass die meisten Harmoniker Musiker waren. Die abendländische Musik wird vorwiegend mit Saiten- und Blasinstrumenten betrieben. Das legt den Fehlschluss nahe, jegliche Tonphänomene würden diesem einfachen Gesetz folgen.

Die schwingende Saite ist ein Spezialfall

Betrachten wir nochmals die schwingende Saite an einem Monochord. Die dort erzeugten Wellen oder Schwingungsmoden sind im Grunde eindimensional. Sie folgen immer nur der Saite und können sich nie in einer Ebene oder im Raum ausbreiten. Wollten wir Schwingungen allgemeiner auffassen, so müssen wir sie auch in Ebene und Raum betrachten, also zwei- und dreidimensional. Das kann man z.B. wenn man. Außerdem betrachten wir stehende Wellen, denn wenn eine Saite beidseitig eingespannt ist, können sich nur stehende Wellen ausprägen. Um eine stehende Welle aus dem Korsett des Monochords zu befreien müssen wir sie frei in dem Raum entlassen. Wir betrachten also eine stehende akustische Welle zwischen zwei Wänden. Die erste stehende Welle bildet sich bei der Frequenz, dessen Wellenlänge dem doppelten des Wandabstandes entspricht. Es ist dann f = c / 2L, wobei L der Wandabstand, f die Frequenz und c die Wellengeschwindigkeit ist. Wir haben hier die Selbe Gleichung, die wir oben bereits betrachtet haben. Dabei ist L, der Wandabstand l halbe. Das deshalb da sich stehende Wellen schon bei halber Wellenlänge ausprägen. In Bild 2.0 unten ist die Grundschwingung nur eine halbe Welle. Erst die nächste Welle, oder der erste Oberton ist vollständig ausgeprägt. Wir erhalten also, wenn wir die Gleichung umstellen wieder c = f x 2L, wobei 2L die Wellenlänge l ist. Weitere stehende Wellen bilden sich bei den ganzzahligen Vielfachen dieser Frequenz. Das ist eine andere Formulierung für die harmonische Obertonreihe.

Wie sieht es nun aus, wenn sich eine stehende Welle zwischen vier Wänden ausprägt, oder im Raum, zwischen sechs Wänden. Die Gleichungen dazu lauten:

Gleichung I. ist jene, die wir von Monochord her schon kennen. L sind die jeweiligen Längen, innerhalb dessen sich die Moden m ausprägen. Die Indices x, y, z geben an, in welche Raumrichtung sich die Moden jeweils ausdehnen. X sei die Länge, y die Breite und z die Höhe. Wählt man für alle Moden jeweils die erste m=1, so erhält man die erste stehende Welle in einem würfelförmigen Raum, in dem alle kanten gleich lang sind, Lx=Ly=Lz=1. Eine solche stehende Welle hätte dann die Frequenz  f = c/2* Wurzel(3). Die Frequenzen dieser Moden oder Schwingungsformen sind also nicht mehr harmonisch. Sie können jeden beliebigen Wert annehmen.

Was ist nun die Konsequenz? Harmonikale Betrachtungen orientieren sich an dem Spezialfall der harmonischen Obertonreihe. Dieser Spezialfall ist Bestandteil einer allgemeinen Betrachtung stehender Wellen. Die Komponenten m/L in den Gleichungen I. – III. sind nichts Anderes, als das Verhältnis, zwischen Länge L der stehenden Welle und der Mode m, wie wir es am Monochord vorfinden. Überlagern sich diese Verhältnisse m/l in den drei Raum – Dimensionen, so sind die zugehörigen Frequenzen nicht mehr harmonisch, also nicht mehr ganzzahlig.

Vorläufiges Resümee zur Kayserschen Harmonik

Man kann muss nun einerseits feststellen, dass die harmonikalen Betrachtungen nach Hans Kayser keineswegs allgemein gültig im Sinne der Akustik sind. Die harmonische Obertonreihe ist ein Spezialfall akustischer Phänomene.

Was die harmonische Obertonreihe auszeichnet, die ja die einfache Zählweise 1, 2, 3, 4-fache Frequenz des Grundtons aufweist, das ist die Zählung der einfachen ganzen Zahlen. Man sagt, die Obertonreihe ist eine Abbildung der ganzen Zahlen und das ist eine wirkliche Besonderheit. Diese Zählweise wird nun in eine weitreichende Übereinstimmung mit den Intervallen unserer Musik gebracht. 1:2 entspricht dem Frequenzverhältnis eines Oktavintervalls, 2:3, dem des Quint-, 3:4 dem des Quartintervalls, usw. Das wiederum legt nahe, dass unsere Psyche auf diese Ganzzahligkeit hin orientiert sein muss, denn sonst würden wir musikalische Intervalle nicht als Schön empfinden. So gesehen hat Schönheit und Harmonie etwas mit den ganzen Zahlen zutun. Kayser nannte diesen philosophischen Kontext „Anhörung“ oder „Akroasis“

Eine allgemeine Betrachtung im physikalischen Sinne muss sich allerdings von der Korrespondenz zwischen Frequenz und Intervall lösen. Denn hier gilt das Gesetz der ganzen Zahlen nicht mehr. Was davon noch bleibt ist eine Betrachtung der Schwingungsmoden, die ja auch in zwei und drei Dimensionen als ganze Einheiten auftreten. Im Kayserschen Sinne wäre das der Wechsel von der „Anhörung“, „Akroasis“ zur „Anschauung“, „Aesthesis“. Die Überlagerung in Flächen und Räumen ergeben dann eine Formvielfalt, die wiederum aus den Elementen einzelner Formen kombiniert ist. Es handelt sich also um eine Obertonreihe der Formen.

Damit ist aber auch die Vielfalt musikalischer Erscheinungen nicht ausgeschöpft. Unsere Tonleitern beruhen nicht ausschließlich auf der Erscheinung der Obertonreihe. Intervalle wie die kleine und große Sexte, mit ihren Frequenzverhältnissen 3:5 und 5:8, sind nicht teil der Obertonreihe. Sie sind aber fester Bestandteil beinahe aller Tonleitern. Um diese Intervalle mit in eine vollständige Tonleiter einzubringen, bedarf es einer anderen musikalischen Betrachtungsweise, nämlich der sog. Tonstufen. Seit dem 17. Jahrhundert bilden die Dur- und Molltonalitäten mit den Tonleitern in sieben, Haupttönen und fünf Halbtönen die Grundlage unseres Musizierns (11). In anderen Kulturen existieren andere Tonleitern, etwa die pentatonische in der chinesischen Musik oder die 22 Stufige indische Tonleiter. Die Tonstufen sind eine eigene Kategorie der Musik. Beispielsweise ist es in der zweiten Stufe egal, ob man einen großen oder kleinen Halb- oder Ganzton, spielt. Gemeint ist immer die zweite Stufe, etwa der simplen Reihe Do – Re- Mi – Fa – So – La – Si. Die Tonstufen sind somit von den Intervallen entkoppelt, bilden eine eigene Kategorie innerhalb einer Tonleiter.

Es gibt also Gemeinsamkeiten zwischen Tonleitern und der Obertonreihe. So sind die ersten Obertöne einer schwingenden Saite, also einer eindimensionalen Schwingung den Tonstufen sowohl unserer siebenstufigen diatonsichen Tonleiter gemeinsam. So etwa entsprechen die Intervalle der Oktave, Quinte, Quarte, gr.- und kl. Terz, den Obertönen 1:2:3:4:5:6. Dann klafft eine Lücke, denn die Intervallverhältnisse 6:7 und 7:8, werden in der europäischen Musik nicht verwendet. Sie erscheinen teilweise in Tonsystemen anderer Kulturen. Dann erscheinen die Intervalle 8:9, gr. Ganzton und 9:10, kl. Ganzton. Die weiteren Obertöne 10:11, bis 14:15 werden in praktisch keiner Tonleiter, auch nicht in außereuropäischen verwendet, während 15:16 als gr. Halbton und 24:25 als kl. Halbton wieder Verwendung finden.

Die Obertonreihe bildet die Tonstufen also nur Bruchstückhaft ab. Sie erscheint aber andererseits auch nur an eindimensionalen idealen Saiten und „ideal“, bedeutet, dass eine Saite ausreichend lang und dünn ist, damit Biegekräfte unwirksam bleiben, sowie in Luftsäulen, wie etwa in Blasinstrumenten. Letztere würden wieder zu unharmonischen nicht ganzzahligen Frequenzen führen.

Wir haben aber mit diesen Betrachtungen die Vielfalt der Schwingungsarten noch immer nicht ausgeschöpft und werden sie später nochmals aufnehmen.

Die Betrachtungen in der Baukunst, der Musikgeschichte und der Mystik ist jedoch stark geprägt von den Zahlen 1 bis 7 und den daraus zu bildenden Intervallen, Proportionen und Tonstufen. Hier weist die Harmonik zahlreiche ausführliche Betrachtungen auf. In der Quanten- und Kernphysik spielt die harmonikale Betrachtung wieder eine Rolle.

Was Hans Kayser und seine Schüler übersehen haben.

Wenn also in der Harmonik nach Hans Kayser der Eindruck entstanden ist, das Monochord sei das Bedeutendste Instrument der Pythagoreer, so ist das falsch. Pyhtagoreische Überlieferung bezieht sich auf eine weite Vielfalt akustischer Experimente. Wieso hat man diese Überlieferung nun vollständig ignoriert? Die Antwort lautet: Sie ist zunächst physikalisch nicht nachvollziehbar und wird bis heute als falsch bezeichnet.

Rechnet man etwa nach, welche Körperschallfrequenz ein Hammer aus Stahl hat, so erhält man bei einer Schallgeschwindigkeit von ca. 5000 m/s und einer Hammerlänge von 0,1 m eine untere Frequenz von 50.000 Hz. Unser Ohr kann aber nur bis ca. 16.000Hz wahrnehmen. Pythagoras konnte also niemals Unterschiede in den Frequenzen verschiedener Hämmer gehört haben. Selbst wenn man annimmt, man habe es etwa mit Messinghämmern und einer Schallgeschwindigkeit von ca. 3000 m/s zutun, so liegt die unterste Körperschallfrequenz immerhin noch bei 30.000 Hz. Also auch weit jenseits der hörbaren Bereichs. Zudem breitet sich der Körperschall innerhalb eine Hammers natürlich dreidimensional aus und wir bekämen nach Gleichung III. oben, niemals eine ganzzahlige Frequenz.

Geht man nun davon aus, dass das die Legende keine Metapher ist, sondern auf Wahrheit beruht, dann wäre es zumindest denkbar, dass die Schmiede anstatt mit Hämmern auf einem Ambos, Meißel zum Treiben von Metall- oder Messingblech, etwa beim Schmieden von Metallbeschlägen verwendet hatten. Hier sieht die Sache nun ganz anders aus. Meißel strahlen Schallfrequenzen je nach Länge in unterschiedlichen Frequenzen im hörbaren Bereich aus. Nun das erscheint spekulativ, wenn nicht konstruiert. Es würde aber die ganze Legende in ein völlig anderes Licht rücken. Ein mir leider unbekannter Autor hat das in Wikipedia veröffentlicht. Man kann es dort unter dem Titel: „Pythagoras in der Schmiede“ (12) unter Punkt  8.2.2 „Ambose“, nachlesen. So gibt es auch die Überlieferung Pythagoras habe etwa Gewichte von 6, 8, 9, und 12 Kg an Saiten gehängt und habe dann die Intervalle Oktave, Quinte und Quarte gefunden, wie es etwa Bild 7.1 links unten suggeriert.

Lesen wir nochmals die Boethiusschilderung:

Indem er erst einmal gleichgroße Gewichte an Saiten hängte und deren Zusammenklänge mit dem Gehör beurteilte und dann in der Länge von Rohren doppeltes und halbes Maß herstellte und die weiteren Größenverhältnisse einhielt, erreichte er durch verschiedene Erfahrungen hindurch absolute Zuverlässigkeit.

Oft auch, wenn er zur genauen Ausmessung Becher gleichen Gewichts in Schalen einsetzte, und wenn er oft auch ebendiese Schalen, in verschiedenen Gewichten ausgeformt, mit einem ehernen oder eisernen Stock anschlug, freute er sich, keine Abweichungen zu finden.

Davon veranlasst machte er sich daran, Länge und Dicke von Saiten zu erforschen. Und so erfand er ein Richtholz, über das wir weiter unten sprechen wollen, das seinen Namen von der Sache nimmt, nicht weil das Richtholz ein hölzernes ist, mit dem wir Saitenlänge und Klang messen, sondern weil dieses Richtholz ein so sicher genormtes Untersuchungsmittel ist, dass es keinen Forscher durch eine falsche Angabe täuscht (13)

Es werden zumindest hier keine Zahlen genannt. Pyhtagoras prüft „Zusammenklänge mit dem Gehör“. Ist das korrekt, so sind alle überlieferten Zahlenangaben falsch.

Hängt man z.B. zwei Gewichte mit 6 Kg und 12 Kg an zwei Saiten, so erklingen sie keineswegs im Oktavintervall. Das würden sie nur dann tun, wenn man 6 Kg und 6 x 6 = 36 Kg an zwei Saiten hinge. Der Zusammenhang zwischen Frequenz und Spannung einer Saite ist nämlich Quadratisch. Die Überlieferung könnte also die genannten Zahlen naiverweise eingesetzt haben, um eine Übereinstimmung mit den Längen am Monochord zu erreichen. Hat Pythagoras diese Experimente durchgeführt, so muss er, wenn er seinem „Gehör“ vertraute, die richtigen Zahlen gefunden haben. Diese Experimente können, wenn sie denn jemals ausgeführt wurden, nur die richtigen Ergebnisse liefern. Man muss also sagen, entweder hat es diese Experimente nie gegeben, oder die überlieferten Zahlen sind falsch.

Eine wahrscheinliche Version des Gewichtsexperiments kann man mit quadratischen Platten ausführen, mit z.B. 6 cm und 12 cm Seitenlänge und gleicher Dicke. Hinge man solche Platten an Saiten, so wäre die größere 36 Mal so schwer die die Kleinere und es erklänge tatsächlich ein Oktavintervall. Das Messen der Quadratseiten ergäbe das Intervall 6:12 oder 1:2, also ein Oktavintervall.

Es gibt jedoch noch einen weiteren Hinweis, der zeigt, dass die Pythagoreer tatsächlich nicht nur mit dem Monochord experimentiert haben. Dieser Hinweis geht auf das 5. Jahrhundert v. Chr. zurück und ist somit näher an Pythagroas wie alle seine Biographen:

Von dem bedeutenden Pythagoreer Hippasos (5. Jahrh. v. Chr.) ist überliefert, er habe mit Bronzescheiben gleichen Umfangs und unterschiedlicher Dicke experimentiert. (14)

Auch das kann man physikalisch korrekt nachvollziehen. Zwei Platten mit gleicher Form erklingen je nach Dicke in unterschiedlichen Intervallen. Die Dicke der Platten verhält sich wie eine Obertonreihe. Um ein Beispiel zu nennen. Eine Platte mit 1 mm Dicke und eine Platte gleicher Größe und gleichem Materials mit 2 mm Dicke erklingen in einem Oktavintervall. Die Dicke verhält sich umgekehrt Proportional zur Frequenz. Es gilt das selbe Gesetz, wie bei schwingenden Saiten.

Ist alles harmonische Obertonreihe, Oder ist die Welt Klang?

Es stellt sich nun die Frage, ob alle Ton – Erscheinungen in der Natur harmonische Obertonreihen sind. Oder ob zumindest alle Ton – Erscheinungen irgendwie auf ganzzaligen Vielfachen eines Grundtons oder einer Grundschwingung zurückzuführen sind.  Objektiv betrachtet muss man diese Frag verneinen. Die wenigsten Tonerzeuger halten sich an die harmonische Obertonreihe. Genau gesprochen gibt es die harmonische Obertonreihe nur in geschlossenen Luftsäulen, also in allen Blasinstrumenten und an einer schwingenden Saiten, also an allen Saiteninstrumenten.

Die Überschrift lautete „Ist die Welt Klang?“. Damit habe ich eine Frage aufgeworfen, die auf das Werk von Behrend, „Nada Brahma, oder die Welt ist Klang“ zurück geht. Auch die Hamonik befasst sich seit Hans Kayser mit dieser Frage. Das Werk  von Hans Custo „Die Kosmische Oktave“ bewegt sich ebenfalls um diesen Themenkomplex.

Behrend zitiert viele Philosophen und Wissenschaftler, hält sich dabei aber bedeckt, wenn es um Konkretes geht. Hans Custo Postuliert ein Oktavgesetz, das er mit der Titus Bode Reihe und mit den Sphärics begründen will. Seine Argumente reichen natürlich bei weitem nicht aus, um etwa eine Obertonreihe als etwas natur gegebenes zu betrachten.

Wege zu einer ursprünglicheren harmonikalen Auffassung

Die Philosophie der Zahl

Wenn man sagt, dass jede beliebige Länge mit einem Metermaß in Einheiten zerlegbar ist, dann bedeutet das dass die Zahl an und für sich Grundsubstanz dieser Welt ist. Nun gibt es Philosophien, die besagen, dass Zahl eine Erfindung des Menschen sei. Problematisch dabei ist, zu erklären wie man dann mit Zahlen die Welt so gut erfassen und Abbilden kann. Technik und Wissenschaft hätte sich ohne die Erfindung der Zahl nicht entwickelt. Technik folgt den Entdeckungen der Wissenschaft und baut mit deren Erkenntnissen Maschinen, mit denen wir wie Welt abbilden und bewältigen können. Das funktioniert nur deshalb, weil wir die Naturgesetze mit mathematischen Methoden erfassen können. mathematische Methodik bedient sich vor Allem der Zahl. Ein weiteres wichtiges mathematisches Werkzeug ist aber auch Symmetrie. Sowohl Zahl, als auch Symmetrie sind offenbar den Naturgesetzen immanent. Warum das so ist, wissen wir bis heute nicht. Es könnte ja genauso gut sein, dass die Naturgesetze mathematisch gar nicht erfassbar wären. Ich möchte hier nochmals deutliche machen, dass es keineswegs als selbstverständlich betrachtet wird, dass dies so zu sein scheint.

„Der große Baumeister scheint ein Mathematiker zu sein“ (15)

Diese Grundaussage ist nicht modern. Sie existiert nun schon seit zweieinhalbtausend Jahren, wurde immer wieder neu formuliert und wurde erstmals von den  Pythagoreern überliefert.

Wir müssen nun klären, warum die Zahlen in dieser Art von pythagoreischer Betrachtung so große Bedeutung hat. Zunächst zählen wir das, was wir als gleich erachten. Also etwa zwei Löffel, oder zwei Bleistifte oder zwei Tische. Bei letzterem stellen wir fest, dass ein Tisch sehr unterschiedlich aussehen kann. Dennoch tun wir so, als wäre etwas an ihnen gleich. Es ist der Begriff „Tisch“ den wir zählen, nicht der vor unseren Augen stehende und greifbare Tisch.

Das vor uns stehende Objekt und seine Benennung  ist also etwas grundsätzlich Unterschiedliches. Schließen wir Eigenschaften wie Farbe, Größe, Material, etc. mit ein, so erhalten wir das, was seit Jahrhunderten als Universalie bezeichnet wird. Ein Jahrhunderte langer philosophischer Streit dreht sich darum, ob ihnen eine Wirklichkeit zukommt, oder ob es bloße Erfindungen menschlichern Geistes sind.

Ich möchte aber hier lediglich die Beziehung zwischen den Substantiven und den Zahlen aufzeigen. Ein Substantiv, wie etwa das Wort Tisch, hat ohne den Zahlbegriff keinen Sinn. Tisch alleine ist sprachlich völlig unsinnig. Entweder meinen wir mit „Der Tisch“ einen einzigen, oder mit „Die Tische“ eine unbestimmte Zahl oder wir zähle sie und versehen das Wort mit einer Zahl.

Bei Zahlen ist das etwas grundsätzlich Anderes. Wir zählen etwa eins, zwei, drei, ohne sagen zu müssen was wir zählen. Zahl alleine kann ohne ein Substantiv da stehen. Die Zahl ist also selbst ein Substantiv. Dabei hat Zahl keine konkrete Gestalt. Es ist eine Abstraktion, die für sich genommen nur durch gegenseitige Bezugnahme Inhalt gewinnt. Etwa wenn wir von geraden oder ungeraden Zahlen sprechen, meinen wir bestimmte Eigenschaften der Zahlen. Was aber Zahl an und für sich ist, wissen wir nicht.

Wir wissen es nicht so, wie wir etwa wissen, was ein Tisch ist. Zahlen kann man nicht anfassen.

Doch wenn wir meinen, ein Tisch sei etwas, wovon wir genau wissen was er sei, wenn wir ihn als sinnlich fassbares Objekt betrachten, so ist das ein Irrtum. Es dauerte zweihundert Jahre bis die Physiker erkannten, dass hinter den Objekten der sinnlichen Wahrnehmung keineswegs eine beständige und tote Materie liegt. Materie wurde seit der Entdeckung der Unschärferelation durch Werner Heisenberg etwas absolut unbekanntes. Die Physik erfasst Materie nicht bis unendlich kleine Dimensionen. Es gibt eine Grenze. diese Grenze, als Planksches Wirkungsquantum bekannt, stellt ein Produkt dar. Ein Produkt aus Weg und Impuls (Stoßkraft) oder ein Produkt aus Energie und Frequenz. Je nach Festlegung des einen lässt sich das andere mit begrenzter Genauigkeit bestimmen.

Wer nun meint es sei dies eine Grenze der messbaren Genauigkeit, der irrt. Es ist eine prinzipielle Grenze. Wenn also etwa der Ort eines Teilchens mit unbegrenzter Genauigkeit gemessen werden könnte, so wäre der Impuls vollkommen unbekannt und das nicht deshalb, weil er nicht gemessen werden kann, sondern weil der dann nicht mehr existiert. Das Gleiche gilt für Frequenz und Energie.

Wir können Ort und Impuls nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit messen, weil Ort und Impuls einer Größe nicht gleichzeitig existieren. (16)

Diese Erscheinung der wechselseitigen Existenz zweier Größen nennt Niels Bohr Komplementarität. Um ein Beispiel zu nennen. Wenn wir ein Atom als winziges Monochord betrachten und wir könnten die Frequenz exakt bestimmen, so wäre die Energie der zugehörigen Frequenz nicht mehr vorhanden. Das Objekt würde sich also einer messbaren Wahrnehmung vollkommen entziehen.

Diese „Nicht Existenz“ in welche die Quantenphänomene wechselweise eintauchen und wieder erscheinen ist etwas, das verschiedene Physiker dazu veranlasst hat über die Welt als Ganzes noch einmal neu nachzudenken.

Kehren wir zurück zu unserem Beispiel. Was uns also von dem sinnlich wahrnehmbaren Tisch unseres Beispiels bleibt, ist die sinnliche Wahrnehmung und die Benennungen, die wir dem Tisch geben. Also im Grunde nur Erscheinungen unseres Bewusstseins. Wenn wir nun zur Betrachtung der Zahlen zurück kehren, so müssen wir feststellen, dass wir für Zahlen stets Symbole verwenden. Zahl an und für sich ist etwas, das sich unserer sinnlichen Wahrnehmung entzieht. Obwohl wir Eigenschaften der Zahlen definieren können, obwohl wir ständig mit ihnen hantieren und zählend umgehen, wissen wir im Grunde nicht was Inhalt dieser Symbolik ist.

Eine Erscheinung unsers Bewusstseins ist aber auch die Zahl. Insofern sind Zahlen und sinnliche Wahrnehmungen nur dadurch unterschieden, dass das Zahl ein sinnlich nicht wahrnehmbares Objekt, der Tisch ein sinnlich wahrnehmbares Objekt ist. Beide sind Objekte unseres Bewusstseins.

Bei der Untersuchung was Zahlen sind, haben wir die Eigenschaft ihrer Reihenfolge durch Zählen verwendet. Wenn wir dabei bleiben und zählend durch die Reihe der ganzen Zahlen gehen, so gelangen wir einerseits in die Unendlichkeit, andererseits auf die erste Zahl Eins. Wir können feststellen, dass die Ganzen zahlen die Grundlage aller anderen Zahlendefinitionen bilden. Unter den ganzen Zahlen ist die Eins das Element aller anderen. Wenn wir dem Zahlbegriff also auf die Spur kommen wollen, müssen wir versuchen herauszufinden, was die Zahl Eins ist.

Dazu stellen wir uns einen Lichtpunkt in völliger Dunkelheit vor. Der Lichtpunkt soll nun das Symbol für die Zahl eins sein. Sofort kommt die Idee, nun den Vorgang der Wahrnehmung in drei Teile zu zerlegen. Subjekt, Objekt, Erkenntnisraum. Subjekt, das bin ich, der ich das Objekt, den Lichtpunkt als Symbol der Zahl Eins sehe und den Erkenntnisraum, die Dunkelheit drum herum.

Um nun zu einer Einheit zu gelangen, ist es zumindest gedanklich nötig, sich vorzustellen, man verschmelze mit dem Lichtpunkt. Damit sind Subjekt, Objekt, Erkenntnisraum eins und sie existieren in ihrer Funktion nicht mehr. Eine Wahrnehmung ist nun nur noch als ICH BIN, oder SEIN möglich.

Die Einheit der Welt und die Pythagoreer

Hinter dem Symbol der Einheit, jener Zahl, welche Grundlage aller Zahlen ist, verbirgt sich also das ewige Subjekt, ohne ein Objekt. Diese Idee wurde aber im Zusammenhang mit der Unschärferelation schon von Werner Heisenberg erkannt. Er sagt:

Vielleicht haben wir durch die Zusammenhänge, die wir in den letzten dreißig Jahren in der Naturwissenschaft dazugelernt haben, eine größere Weite des Denkens gewonnen. Der Begriff der Komplementarität zum Beispiel, den Niels Bohr jetzt bei der Deutung der Quantentheorie so sehr in den Vordergrund stellt, war ja in den Geisteswissenschaften, in der Philosophie keineswegs unbekannt, selbst wenn er nicht so ausdrücklich formuliert worden ist. Daß er in der exakten Naturwissenschaft auftritt, bedeutet aber doch eine entscheidende Veränderung. Denn erst durch ihn kann man verständlich machen, daß die Vorstellung eines materiellen Objektes, das von der Art, wie es beobachtet wird, ganz unabhängig ist, nur eine abstrakte Extrapolation darstellt, der nichts Wirkliches genau entspricht. In der asiatischen Philosophie und in den dortigen Religionen gibt es die dazu komplementäre Vorstellung vom reinen Subjekt des Erkennens, dem kein Objekt mehr gegenübersteht. Auch diese Vorstellung wird sich als eine abstrakte Extrapolation erweisen, der keine seelische oder geistige Wirklichkeit genau entspricht. Wir werden, wenn wir über die großen Zusammenhänge nachdenken, in Zukunft gezwungen sein, die – etwa durch Bohrs Komplementarität vorgezeichnete – Mitte einzuhalten. Eine Wissenschaft, die sich auf diese Art des Denkens eingestellt hat, wird nicht nur toleranter gegenüber den verschiedenen Formen der Religion sein, sie wird vielleicht, da sie das Ganze besser überschaut, zu der Welt der Werte mit beitragen können. (17)

Friedrich von Weizsäcker befasst sich in seinem Werk Einheit der Natur im Zusammenhang mit diesem Problem, mit dem Platondialog Phaidon. Dabei geht Weizsäcker auf eben die gleiche Vorstellung eines absolut Seienden ein. Im Phaidon wird auf andere Weise hingeführt. Alle rational logischen Begrifflichkeiten werden hier ad Absurdum geführt, um zu zeigen, dass dem Seienden kein Attribut mehr gegeben werden kann, es ist ohne Eigenschaft und über es kann nichts mehr ausgesagt werden, da es als reines Subjekt niemals Objekt sein kann. Daher zielen alle objektiv gefassten Begriffe ins Leere.

Da wir nun in aller Kürze festgestellt haben, dass die Objekte der sinnlichen Wahrnehmung keine Objekte im Sinne einer unabhängig gedachten Materie sind, können wir nun weiter feststellen, dass die Begrifflichkeiten der Sprache sehr wohl eine Realität darstellen. Ohne sie könnten wir unsere Welt nicht erfassen, ja ohne sie bliebe die reine Quantenwelt, welche in absolutem Sein ruht, über das nichts ausgesagt werden kann. Man kann soweit gehen und behaupten, die Begriffe unserer Sprache ist ein feststehender Teil unserer Wirklichkeit. Hinter den sinnlichen Wahrnehmungen verbergen sich keine Dinge im Sinne einer unabhängigen Stofflichkeit. Es kommt also entscheidend darauf an, wie wir die Begriffe unserer Sprache bilden und welche Analogien wir damit verbinden.

Insofern kommt nun der Aussage der Pythaoreer „Zahl ist das Weiseste“ eine größere Bedeutung zu. Für die Pythagoreer waren Zahlen Teil der Schöpfung. In den Eigenschaften der Zahlen sahen sie Prinzipien des Kosmos und Werte höheren Seins. Diese Idee, Zahlen als Elemente allgemeiner Grundbedeutungen zu sehen, hat sich mit Hans Kayser in die Neuzeit überliefert. Hier liefert der Jungsche Begriff des Archetypus einen Anknüpfungspunkt zur Pythagoreischen Symbolik der Zahl.

Besinnt sich nun die Harmonik wieder auf diese ursprünglich auch im Pythagoreismus begründete Anschauung und stellt die Zahl in den Mittelpunkt, so gebührt ihr jener Rang, den die Quantenphysik in die Moderne eingebracht hat und mehr und mehr an Bedeutung gewinnen wird.

Fußnoten:

De institutione musica : Von der musikalischen Unterweisung: Liber I : 1.Buch Lat.. Text nach Gottfried Friedlein, Leipzig  Teubner) 1867 und ins Deutsche übersetzt von Hans Zimmermann, Görlitz 2009

Nikomachos von Gerasa, ein antiker neupythagoreischer Philosoph, Mathematiker, Musiktheoretiker. Geb. ca. 100 n. Chr.

Rudolf Haase, Geschichte des harmonikalen Pyhtagreismus, S12.

Lautstärke entspricht der Amplitude einer Tonfrequenz. Eine Funktion 0,5 sin(2x) erfährt durch den Faktor 0,5 eine Halbierung der Amplitude.

Hans Kayser Lerhbuch der Harmonik, Occident Verlag 1950, S.22f

O.a.a. S.23

j. Michel, W. Wagner, Maßsysteme der Tempel, S.64

http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Kayser

Quelle: KREIS DER FREUNDE UM H A N S K AY S E R BERN, MITTEILUNGEN Nr. 52 Auflage 800 Ex. Mai 2004, 30. Jg. Die Harmonik der Welt, Dort: Die Geschichte des harmonikalen Denkens

Eine Einführung (aus Tattva Viveka Nr. 20) von Prof. Dr. Rudolf Haase und Prof. Dr. Werner Schulze

Rudolf Haase, Geschichte des harmonikalen Pyhtagreismus, S12.

ABC Musk, allgemeine Musiklehre, Ziegenrücker, Breitkopf & Härtel, Neuausgabe 1996, S.96

http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_in_der_Schmiede#Ambosse

De institutione musica : Von der musikalischen Unterweisung: Liber I : 1.Buch Lat.. Text nach Gottfried Friedlein, Leipzig  Teubner) 1867 und ins Deutsche übersetzt von Hans Zimmermann, Görlitz 2009

URL: <http://12koerbe.de/arche/boe-mu1.htm >

Riedweg Christoph, Pythagoras, C.H.Beck, München, 2002, S.46

Feynman P.; Vom Wesen physikalischer Gesetzt, Piper, 2010, 2. Aufl., S.75

Barrow, John D.; Die Natur der Natur; Wissen an den Grenzen von Raum und Zeit, Rohwolt, Hamburg, 1996; S.227.

Heisenberg, Werner: Der Teil und das Ganze, S.104

Im Wasserstoffatom schwingt ein negativ geladenes Elektron um den positiv geladenen Atomkern. Das Elektron schwingt in gestuften Energieniveaus, die man in dem von Rutherford entwickelten Teilchenmodell, Bahnen oder Schalen nennt. Ein Elektron kann immer nur von einer Bahn in eine Andere springen. Dabei gibt das Elektron Energie ab, wenn es in eine niedrigere oder nimmt Energie auf, wenn es in eine höhere Bahn springt. Die Energieniveaus werden in den sogenannten Quantenzahlen beschrieben. Die Hauptquantenzahl gibt die primären Energiestufen n=1 bis n=7 an (Siehe Bild D1). Diese Energiestufen verhalten sich wie ganze Zahlen zueinander, es gibt also keine Zwischenwerte. Man spricht daher von einem Quantensprung, wenn ein Elektron sein Energieniveau wechselt.

Neben den gebundenen Elektronen gibt es auch freie Elektronen, die das Atom verlassen haben. Elektrischer Strom besteht aus solchen freien Elektronen. Geringfügige Mengen freier Elektronen gibt es in beinahe jedem Stoff, ob gasförmig, flüssig oder fest. Schlägt ein solches freies Elektron in eine Elektronenhülle ein, so wird das im Atom ge-bundene Elektron angeregt. Es nimmt die Bewegungsenergie des ankommenden Elek-trons auf und wechselt auf ein höheres Energieniveau. Nach Bruchteilen einer Sekunde fällt es wieder auf ein niedrigeres Energieniveau zurück und gibt dabei eine definierte, ebenfalls gestufte Energie in Form eines Lichtquants (1), genauer elektromagnetische Strahlung ab. Das Atom blitzt gewissermaßen kurz auf. Geschieht das oft genug, dann beginnt der Stoff zu leuchten. Diesen Effekt nutzt man beispielsweise in Glühlampen und Leuchtstoffröhren. Man leitet gezielt Strom durch einen Stoff, bei der Glühlampe ist es Glühdraht, bei der Leuchtstoffröhre ist es ein Gas. Da der Strom aus Elektronen besteht, werden viele Atome zum leuchten angeregt. Beim Glühen eines Stoffes kommt es durch die Wärmebewegung der Atome zum gleichen Effekt. Wie das Wasserstoffatom, erzeugen alle anderen Elemente Licht prinzipiell auf die selbe Weise, durch den Wechsel der Energieniveaus und die damit verbundene Abgabe von Energie vermittels Lichtquanten. Auch in der Sonne werden Atome durch hohe Temperaturen und magnetische und elektrische Ströme, zum Leuchten angeregt. Im ganzen Kosmos wird Licht auf diese Weise erzeugt. Wenn ein Stoff glüht entsteht ein kontinuierliches Spektrum.

Heißes Gas von geringer Dichte oder Gas, das mit Elektronen oder Lichtquanten beschossen wird, erzeugt ein Linienspektrum (Bild D1a).

Licht kann aber ebenso absorbiert, also verschluckt werden, wenn Licht durch ein Gas fällt, dann entsteht ein Absorptionsspektrum (Bild D1b).

Kehren wir zurück zum Wasserstoffatom. Je nach Übergang, wird eine Lichtquant mit entsprechender Frequenz abgestrahlt. Da das Licht nur ingestuften Einheiten abstrahlt, ergeben sich sog. Spektrallinien, das Licht hat also eine definierte Frequenz und diese zeugt von dem Wechsel der Energieniveaus. Natürlich liegen nicht alle abgestrahlten Lichtfrequenzen im dem für uns Menschen sichtbaren Bereich. Es gibt auch Strahlung im Langwelligen Infrarot, bis zum Radiowellenbereich. Oder Strahlung imkurzwelligen Ultraviolett bis hin zum Gammawellenbereich. Licht im physikalischen Sinne ist elektromagnetische Strahlung. Von den langwelligen Radio- und Funkwellen über Wärmestrahlung zum Licht, bis hin zu kurzwelliger Röntgen und Gammastrahlung ist alles elektromagnetische Strahlung und entspringt den Atomhüllen der Elemente die es im Kosmos gibt.

Ein Teil des gesamten Wasserstoffspektrums ist die so genannte Lyman-Serie und die-se liegt im kurzwelligen Ultravioletten unsichtbaren Bereich. Es handelt sich um eine Serie von Spektrallinien (Bild D1), welche den Wechsel von der Elektronenbahn n=1 auf die höheren Bahnen n=2, 3, 4 … im Wasserstoffatom anzeigen. Die abgestrahlten Fre-quenzen kann man mit der Rydberg-Formel berechnen (Bild D1c). Dabei ist RH die Rydberg-Konstante, die in unterschiedlichen Varianten angegeben wird, je nach dem, ob man Frequenzen oder Wellenlängen berechnen möchte. Mit dieser Formel kann man die Lichtfrequenzen die ein Wasserstoffatom aussendet berechnen. Der Buchsta-be m gibt dabei das Niveau an auf das das Elektron zurückfällt und n, das Niveau auf das es angehoben wurde.

Bei der Lyman-Serie ist m=1. Das Elektron fällt also immer auf das erste Energieniveau m=1 zurück. Wir wollen nun sehen, ob die Frequenzen der Lichtemissionen harmonika-len Gesetzen folgen. Das heißt, wir wollen untersuchen, ob die Regeln der musikalischen Intervalle, welche in unsere Seele gelegt wurden, denen ähnlich sind, nach denen Atome ihr Licht aussenden. Solche Betrachtungen wurden in der Vergangenheit mehrmals angestellt.
Beispielsweise wurden die Frequenzen der Spektrallinien im Wasserstoffatom in den hörbaren Bereich oktaviert (mehrfach verdoppelt) und in eine Zwölftonleiter gestellt.Als maximales Ergebnis hat man eine statistische Auswertung der Treffergenauigkeit und somit eine mehr oder weniger gute Übereinstimmung mit unserer Tonleiter. Die Aussage ist eine Wahrscheinlichkeit in der Übereinstimmung, kein Gesetz.

Dieses Verfahren liefert im Grunde beliebige Ergebnisse. Um es anschaulicher zu machen. Man könnte ebenso den Inhalt einer Spielkiste abmessen und in Bezug zu einer Tonleiter stellen. Die gemessenen Maße träfen, wenn man sie in den Tonraum einer Oktave bringt irgendwo in den Tonraum und liegen gewiss mehr oder weniger in der Nähe der zwölf Halbtöne. Man kann diese Methode abwandeln und berechnet die tat-sächlichen Intervallproportionen mathematisch exakt. Zerlegt man diese Proportionen anschließend in alle möglichen Mikro-, übermäßigen- und verminderten- Intervalle, so ist das nichts weiter als eine Erweiterung der oben angegebenen Methode. Es macht prinzipiell keinen Unterschied, denn eine strenge Gesetzmäßigkeit kann man so niemals finden.

Die Harmonie im Wasserstoffatom, Harmonie im Kosmos

Die Spektren des Wasserstoffatoms könnten indes tatsächlich auf harmonikalen Prinzi-pien beruhen. Das heißt, dass die Elemente der Musik jenen der Wasserstoffspektren vollkommen entsprechen, wenn man die Rydbergformel umformt. Diese Umformung ist mathematisch vollkommen korrekt. Es gibt also zwei Formen der Rydbergformel, die mathematisch vollkommen gleichwertig sind. Die erste form ist bekannt. Sie steht in Bild D1.1 (2)ganz oben. Nach der Umformung sieht sie so aus wie im grauen Kasten in Bild D1.1 . unten. Es ist die von mir gefundene und als Oberton – Form benannte Gleichung der Rydberg – Formel.

Durch die Umformung erhält die Gleichung eine Form, die als Quotientenreihe darge-stellt werden kann. Setzt man nämlich für m=1 und für n der Reihe nach 1,2,3 usf., so erhält man die in Bild D1.1 (unten) fett gedruckte Quotientenreihe. Später wird das nochmals anschaulich gezeigt.
Das Verhältnis dieser einzelnen Quotienten ergibt z.B. die Werte für die Lyman – Serie. Aber auch alle anderen Spektralserien können daraus ebenso einfach berechnet werden. Setzt man für m=1 und für n=2, so erhält man als Ergebnis die in Bild D1.1.a angegebene Rechnung (Bei-spiel einer Frequenzberechnung). Der Einfachheit halber ist R, die Rydberg-Konstante, bereits als Basisfrequenz umgewandelt. Die Brüche 1/2 und 2/3 können wir als Verhält-nis zweier Intervalle betrachten. Das Oktavintervall (Frequenzverhältnis 1/2) und das Quint Intervall (Frequenzverhältnis 2/3). Die Frequenzen dieser beiden Intervalle auf einem rein gestimmten Instrument ergäbe ein Quartintervall mit dem Frequenzverhältnis 3/4 (Sprich drei zu vier. Man kann ebenso 3:4 schreiben).

Wir haben auf diese Weise eine mathematisch exakte Transformation in den hörbaren Bereich, denn jedes Quartintervall auf jedem beliebigen Instrument hat ein Frequenz-verhältnis von 3:4. Eine Oktavierung ist dazu nicht nötig. Diese Transformation ist ma-thematisch exakt und bildet die Obertonreihe als Proportionen ab, denn nur Proportio-nen, also Tonintervalle machen Musik aus. Ein einzelner Ton ist noch keine Musik, erst in der Folge von Intervallen hören wir Melodie und Klang. Ebenso kommt es im Was-serstoffatom zu einer Lichtemission (Abgabe elektromagnetischer Strahlung), wenn ein Elektron von einer Bahn (Energieniveau) zu einer anderen springt, so wie ein Musiker etwa zwei aufeinander folgende Tasten eines Instruments drückt.

Die Universalität dieser Entdeckung

Die Atomhülle kann also mit fug und Recht als Instrument angesehen werden. Die Energiebetrachtung ist unabhängig davon, wie wir uns das Atom vorstellen. Wie auch die Modellvorstellung der Physik sich noch entwickeln mag, die Energiebetrachtung wird immer gültig sein, da die Energien und Frequenzen messbar sind. Mit zunehmen-der Zahl von Elektronen und Energieniveaus wird die Sache unübersichtlich und komplex. Viele verschiedene Faktoren wie Koppelung der Schwingungen treten in den Vordergrund. Der Anfang aber ist das Wasserstoffatom mit einem einzigen Elektron, welches die Obertonreihe abbildet. Es ist gewissermaßen das Urprinzip, welchem die einfachsten Objekte noch folgen, aber von komplexeren Erscheinungen zunehmend überlagert werden.

Das Wasserstoffatom ist das erste, das nach dem Urknall im Universum entstanden ist und Wasserstoff ist daher das häufigste Element im Kosmos. Das Wasserstoffatom ist ein in sich geschlossenes Ganzes und das einfachste Atom, das es in der Reihe der Elemente gibt. Diese Geschlossenheit verbietet es, die ausgesandten Frequenzen durch einen technischen Akt, wie das Oktavieren, also das halbieren seiner Frequenzen in den Hörbaren bereich zu heben. Damit reißt man das organische Ganze der Propor-tion dieses Systems aus seinem Zusammenhang in einen absoluten Frequenzbereich hinein.
Die Proportion 1:2 entspricht in unserer Betrachtung der sog. Ionisationsenergie. Es ist die mindestens auftretende Energie die ein Elektron dazu veranlasst, das Atom zu ver-lassen. Salopp gesagt ist es ein Stoß, der das Elektron aus dem Atom befördert. Nur dann ist die sog. Ionisierungsenergie erreicht oder überschritten worden. Das Oktavin-tervall ist also die Grenze des Klanges im Wasserstoffatom. Es ist so, als hätte dieses Musikinstrument nur eine Oktave Tonumfang. Das erinnert mich an eine Darstellung des Mystikers Robert Fludd (Bild D1.2).
Die Tatsache, dass Lichtfrequenzen des Atoms elektromagnetische Wellen sind, wäh-rend das Ohr die Transversalwellen der Druckschwankungen der Luft aufnimmt, spielt in diesem Zusammenhang keine Rolle. Die Rechnung zeigt, dass wir die Intervallzahlen als universelle Glyphen zu sehen haben. Sie verbinden unser musikalisches Empfin-den, also unsere Seele, mit dem Kosmos. Die Hülle des Wasserstoffatoms ist ein organisches in sich geschlossenes Ganzes, das durch die Intervallproportionen, wie sie in der Rechnung (Bild D1.3) zu sehen sind, aufgebaut ist. Man kann die gegebenen Intervalle auf jedem beliebigen Instrument spielen und da jedes Instrument wieder ein organisches Ganzes darstellt, ist dies möglich. Alle diese Objekte sind Ganzheiten, welche durch die Möglichkeiten ihrer Intervalle dennoch universell sind. Die Reihe der Intervalle ist universell, welche jedes dieser Systeme zu einem eigenen Kosmos macht und die dennoch Abbilder einer universellen
universellen Gesetzlichkeit sind.

In Bild D1.3, sind alle Terme der Lyman-Serie dargestellt. Die tatsächlichen Frequenzen brauchen uns hier nicht zu interessieren, sie stehen in dem gleichen exakten Verhältnis zueinander, wie die Brüche. Man sieht aber deutlich, wie die Frequenzen aus einer Obertonreihe heraus entstehen. Wir sehen es mathematisch exakt. f2 (Bild D1.3) bei-spielsweise entsteht aus den Intervallen einer Quinte (Frequenzverhältnis 2/3) und einer Quarte (Frequenzverhältnis 3/4), f3 aus einer Quarte (Frequenzverhältnis 3/4) und einer großen Terz (Frequenzverhältnis 4/5). f4 aus großer Terz (Frequenzverhältnis 4/5) und kleiner Terz (Frequenzverhältnis 5/6).
Mit f5 und f5 treten die Naturseptimen (6/7) und (7/8) hinzu. Da sie in unserer Musik nicht verwendet werden, kennen wir auch ihr Verhältnisintervall (Frequenzverhältnis 35/36) und (Frequenzverhältnis 48/49) nicht. Hingegen sind alle anderen als Intervall bekannt. (Frequenzverhältnis 8/9) das große Ganztonintervall, (Frequenzverhältnis 15/16) der große Halbton, (Frequenzverhältnis 24/25) der kleine Halbton (Siehe Bild D1.3).
Es gibt keine Intervalle mit einem Frequenzverhältnis 35/36 oder 48/49, diese entstehen aber aus dem Frequenzverhältnis 5:6 zu 6:7 bzw. 6:7 zu 7:8, aber sie entstehen mit Sicherheit in Blasinstrumenten, wie z.B. Alphörnern, welche nur Naturtöne erzeugen. Das Anblasen der Töne geschieht durch unterschiedlichen Druck. Es gibt keine Klap-pen, welche die Töne erzeugen. Der Ton wird lediglich durch eine einzige schwingende Luftsäule erzeugt und diese schwingt in den ganzzahligen Frequenzen der Obertonrei-he. Der erste Ton als Grundton wird gefolgt vom zweiten, der die doppelte Frequenz hat(3). Der dritte Ton hat die dreifache, der vierte die vierfache Frequenz des Grundtons, usf. Eben aus dieser naturhaften Reihe einer schwingenden Luftsäule bilden sich die Frequenzen der Lichtemissionen im Wasserstoffatom. Die Verhältnisse der Frequenzen 1:2:3:4:5:6:7… bilden zunächst paarweise die Intervalle 1/2, 2/3, 3/4, usf. diese Propor-tionen treten dann als Doppelverhältnis nach außen. Das Verhältnis 1/2 : 2/3 ergibt die erste Lichtemission, die Lyman – Alpha Linie entsteht also aus den Bruch 1/2 : 2/3. Wie bei Brüchen üblich werden sie kreuzweise multipliziert. Also Zähler1 x Nenner2 und Nenner1 x Zähler2. Im vorliegenden Fall 1/2 : 2/3 = (1×3)/(2×2) = 3/4. Auf die selbe Weise entstehen alle anderen Emissionen.

Auch mag es sein, dass unter gewissen klanglichen Bedingungen solche Intervalle in komplexen klassischen Kompositionen entstehen ohne dass diese im Notensystem aufscheinen. Die klangliche Komplexität eines Orchesters ist unvorstellbar groß. Es werden verminderte und übermäßige Intervalle gespielt.
Jedoch klingt das Wasserstoffatom per se keineswegs als Sphärenklang, der unserem Ohr auch nur im Entferntesten entspräche. Diese Intervalle klingen teilweise grässlich, kalt und maschinenhaft. Ein Wasserstoffatom ist also keine klanglich angenehme Sa-che, aber dessen Basis ist zweifellos harmonikal. D.h. die Intervallzahlen unserer Musik sind darin enthalten, wie etwa die Farben auf einer Malerpalette. Ein Bild ergibt es je-doch deswegen noch lange nicht, ebenso wenig, wie ein Wasserstoffatom von vorne herein eine Komposition in unserem Sinne ergäbe.
Eine wichtige prinzipielle Frage für die harmonikale Betrachtung ist: Lässt sich für die Quantenzahl n beliebig große Werte eintragen? Mathematisch gesehen wäre das durchaus möglich, denn der Wert 1/n2 .geht für beliebig große Werte gegen null. Die Ionisierungsenergie 1-1/n2 wird also niemals erreicht. Die Antwort lautet ja. Zwar wer-den die Energiedifferenzen so klein, dass ein Atom durch Vakuum gegen thermische Einflüsse geschützt werden muss. Man könnte sagen, dass geringfügiges Schütteln des Atoms schon genügen würde, um die Elektronen aus der Atomhülle heraus zu schla-gen, wenn sie sich auf Energieniveaus wie z.B. n=100 befänden und daher treten große n unter normalen Bedingungen nicht auf, unter Vakuum und im Weltall gibt es diese Effekte aber durchaus. (4)

Eine etwas andere, anschaulichere Darstellung der Berechnungsmethode bieten die Bilder D2-D6. Hier ist die Obertonreihe als fortlaufende Zahlenreihe dargestellt. Die Pfeile verweisen auf die Brüche, die zu den Die restlichen Spektralreihen ergeben sich aus dem dargestellten Prinzip analog zur Lyman-Serie. Die Ergebnisse müssen anschließend mit dem Faktor R/m2 skaliert wer-den. Dazu genaueres im Abschnitt für physikalisch Interessierte.

Die in den Bildern D2-D6 dargestellten Spektralserien wurden nach ihren Entdeckern benannt. Man sieht aber in diesen Bildern deutlich, dass es immer die simple Ziffernfol-ge der Obertonreihe ist, welche wir als Grundlegend erachten und welche als Bildungs-prinzip hinter all diesen Serien steht. Es werden nur jeweils Ziffern übersprungen und daraus die Quotienten gebildet. Je nach Sprungweite ist noch der Faktor 1/m2 zu multi-plizieren. Dieser Faktor m ist auch die Sprungweite, welche durch Bögen über den Zif-fern dargestellt wurde. Wie bereits gezeigt können all diese Serien durch die folgende Gleichung errechnet werden.

Oberton-Form der Rydberg-Formel

Diese Form der Rydbergformel besteht aus zwei Komponenten. Außerhalb der Klam-mer ist ein Quadratischer Faktor und die Rhydbergkonstante.

Innerhalb der Klammer ist eine Obertonreihe. Das kann man sehen, wenn man für m und n die entsprechenden Werte einsetzt, siehe Bilder D3-D6

Abschnitt für physikalisch Interessierte

Nach der Aussage von De Brogli sind die Energien der Elektronen im Atom in Materie-wellen aufgelöst (Bild D8 oben).

Wenn man nun die Rydbergformel als Summe solcher Energien auffasst (Bild D8 un-ten), dann haben wie es nicht mit einer arithmetischen Summe zutun, wie die Rydberg-formel es vortäuscht, sondern mit zwei Wellen, die sich überlagern. Die harmonikale Form der Rydbergformel entspricht also viel eher der physikalischen Realität als die Form, wie sie allgemein bekannt ist. In einer Ableitung aus der Schrödingergleichung kann man sehen, dass die Energien nun als Quotient auftreten.

Stationäre Schrödingergleichung

Im Folgenden werden wir ausnutzen, dass für kugelsymmetrische Systeme [Die Rydbergformel berechnet die kugelförmigen s-Orbitale] die Winkelabhängigkeit der Wellenfunktion analytisch berechnet werden kann und das Auffinden des Spektrums der stationären Lösungen im wesentlichen durch die Lösung der Schrödingergleichung für die radiale Bewegung bestimmt ist. Das Quadrat dieser Wellenfunktion gibt dann die Wahrscheinlichkeitdichte ein Teilchen im Abstand r vom Ursprung des Potentials zu finden. Formal hat die stationäre, radiale Schrö-dingergleichung für jeden Wert der Energie immer zwei Lösungen, die i.A. die Ei-genschaft haben am Ursprung oder für große Abstände unendlich zu werden. Damit die Wahrscheinlichkeitsinterpretation auch wirklich Sinn macht, muss die Wellenfunktion überall endlich bleiben. Diese Bedingung ist aber nur für be-stimmte Werte der Energie erfüllbar. Wir wollen dies im folgenden Applet zeigen

indem wir durch numerische Integration die radiale Schrödingergleichung lösen. Wir wählen für jede Energie eine Lösung, die am Ursprung endlich ist, und su-chen nach Wellenfunktionen, die überall endlich bleiben. Mit dem folgenden Applet(5) sollten Sie in der Lage sein für eine Reihe von kugelsymmetrischen Poten-tiale (der Form V(r)=V0 rk, k=-1,1,2,…) das Spektrum der stationären Zustände zu finden: Ändern Sie die Energie so, bis die Wellenfunktion in einem hinreichend großen Bereich endlich bleibt. (Weil die numerische Berechnung nur eine endli-che Genauigkeit hat gilt dies nie für alle r, Sie werden jedoch feststellen, dass die Energien trotzdem ziemlich genau bestimmt sind!) Sie sollten für das Coulomb-potential (k=-1) finden, dass das Spektrum gegeben ist durch

E/E0=-1/n2, n=1,2,3….

Für ein Wasserstoffatom gilt E0=13.6 eV. Für den Oszillator (k=2) sollten Sie E/E0=3/2+2n-2 (3/2+2n-1), n=1,2,3… für l gerade (ungerade) finden (6).

Wenn man sich die Umformung der Rydbergformel (Bild D7) ansieht, dann fällt auf, dass die Ausgangsenergie m, jene Energie des Elektrons auf der jeweiligen Grund-bahn, von der aus es angeregt wird, in zwei Teile zerfällt.Einerseits ist m beteiligt an der Bildung der Obertöne im Term, der in der Formel in Klammern steht (Siehe auch die Berechnungs

beispiele in Bild 1.3), andererseits er-scheint m2 gemeinsam mit der Rydbergkonstante R als Skalierungsfaktor R/m2. Diese Aufgabe ist auf das Modell

eines Monochords übertragen, jene der Saitenspannung. Diese legt einerseits die Tonhöhe fest, andererseits ist sie natürlich auch mitwirkend, wenn die Saite sich als Schwingung in die Obertöne verzweigt. Hier kann man sehen, dass m in der Form n-m im Zähler und n+m in Nenner, die Intervalle gewissermaßen aufspreizt.
Diese Interpretation der Ausgangsenergie m ist das entscheidende Problem an der ganzen Ableitung. Als Modell kann das Monochord herangezogen werden.

Bildhaft gesprochen steht die Grundenergie m, für die Saitenspannung, die Stege ent-sprechen den Anregungsenergien n, bzw. den natürlichen Obertönen einer schwingen-den Saite. Diese Obertöne fallen natürlich je nach Saitenspannung in andere Tonhöhen und werden entsprechend skaliert. Das Gleiche geschieht mit den Spektralserien, wenn sie von unterschiedlichen Grundenergieniveaus m aus berechnet werden.

Man kann das beispielsweise sehen, wenn man das Heliumspektrum betrachtet.
Im Jahre 1897 stellte der amerikanische Astronom Pickering im Licht des Sterns ξ-Puppis eine Spektralserie fest, die viel mit der Balmer – Serie des Wasserstoffs gemein-sam hat. Die Berechnung wurde zunächst mit der Rydbergformel und den Werten n/2 und m/2 ausgeführt (Bild D9). Man stellt fest, dass dies zu einer Skalierung führt. Die Balmer – Serie um den Faktor ¼ skaliert ist also identisch mit der des Heliumspektrums. Rechnet man 4/m2 und für m=2, so erhält man als Ergebnis, dass es sich um die Bal-mer – Serie handelt. Es ist jene Serie, die wir mit der harmonikalen Form (Bild D7) auch erhalten, bevor wir sie mit 1/m2 ins Wasserstoffspektrum skaliert haben.

Wir sehen also nichts weiter, als dass die Elektronen, genauer das s – Orbital im Heli-umatom eine andere Grundenergie besitzen und dies führt zu einer Skalierung der Obertonreihe. Dies führt letztlich zur Überlegung des Mosleygesetzes.

In einer allgemeineren Form kann man mit diesem Gesetz auch die Wellenlängen der übrigen Linien des Röntgenspektrums bestimmen. Die Wellenlänge λ der beim Elektro-nenübergang emittierten bzw. absorbierten charakteristischen Röntgenstrahlung ist ab-hängig von der Ordnungszahl Z des jeweiligen Elements und somit charakteristisch für ein bestimmtes Element. Es gilt in der allgemeineren Form siehe Bild D10:
Eine exotische Form eines künstlich erzeugten Atoms sind Myonische Atome

Myonische Atome
Myonische Atome bestehen aus einem Kern der Ladung +Ze,
(Z = Ordnungszahl oder Kernladungszahl, e = Elementarladung eines Elektrons)
einem negativ geladenen Myon µ− und einer Anzahl von Elektronen. Die Myo-nen, welche sich als Leptonen hervorragend eignen die Rolle der Elektronen ein-zunehmen, werden auf Orbitalen hoher Quantenzahl eingefangen und fallen dann über Kaskaden in den Grundzustand. Bei diesem Prozess können Elektro

Elektronen aus dem Atomverband ausgelöst werden. Wir wollen die Elektronen bei unserer Betrachtung erst einmal außer Acht lassen. Dann haben wir es mit einem System wie dem Wasserstoffatom zu tun und können die Wellenfunk-tionen des Myons unmittelbar angeben. Dabei ist die reduzierte Masse (K) zu errechnen, die für schwere Kerne immer noch gut mit der Myon-Masse übereinstimmt. Da das Myon 206.76-mal schwerer als das Elektron ist, ergibt sich ein um diesen Faktor kleinerer Bohrscher Radius (7)

Es zeigt sich letztlich, dass die Spektren solcher Atome wieder die bekannten Spektral-serien hervorbringen. Das beweist, dass die einfachste Form eines Elektrons oder My-ons, als s-Orbital, also des kugelförmigen Aufenthaltsraumes, eine Obertonreihe bildet. Dabei ist es egal, ob Elektron, Myon oder ein anderes Lepton, die Obertonreihe ist das bestimmende Merkmal. Im Mosleygesetz wird durch die Kernladungszahl Z und der reduzierten Masse K immer wieder skaliert. Die Änderung, die ich durch die harmonika-le Form einbringe besteht lediglich darin, die Grundenergie m zusätzlich mit als Skalie-rung einzubringen. Am Ergebnis ändert sich dadurch nichts. Die mathematische Form ist jedoch grundlegend anders.

Wir haben also mit der harmonikalen Form der Rydbergformel ein allgemeines quan-tenphysikalisches Naturphänomen vor uns. Die Obertonreihe erscheint jedoch nicht direkt, sondern gewissermaßen als Gerüst, das im Hintergrund die Erscheinung der Spektren bestimmt. Es handelt sich sogar um eine oktavreduzierte Obertonreihe, die auf dem seit Pythagoras bekannten Monochord eingestellt werden kann. Das Spielen von je zwei benachbarten Saiten entspricht den Frequenzen der Lyman-Serie.

Sollte man die vorliegende Arbeit tatsächlich beachten, wird sich zeigen, ob diese Inter-pretation angenommen wird oder nicht. Es ist eine Frage der Ansichten, denn eine bessere Formel, als die Rydbergformel existiert bis heute nicht. Wohl ist die Rydberg – Kon-stante R quantenphysikalisch abgeleitet und exakt gemessen worden, jedoch der Term der Gleichung, der in Klammern steht, blieb bis heute empirisch und konnte nicht quan-tenphysikalisch abgeleitet werden. Alle Abweichungen, welche Spektrallinien von der Rydbergformel aufweisen, konnten erklärt und bestimmt werden. Die Rydbergformel ist

bis heute ein gültiges Monument der Quantenphysik. Ob ihre Interpretation als Oberton-reihe zu neuen Einsichten oder Streitigkeiten führt, oder ob sie unbeachtet bleibt, liegt nicht mehr in meinem Einflussbereich. Gewiss liegt keinerlei mathematischer Leistung darin, denn die Umformungen benötigen nicht mehr, als die Kenntnis einfacher Algebra, wenn auch etwas trickreich. Die damit erzielte Wirkung kann aber, ähnlich wie im Falle von Johann Jakob Balmer, der den Term der Rydbergformel eigentlich entdeckt hatte, weitreichende Folgen haben.

Für die Gesamtenergie eines Elektrons auf der n-ten Quantenbahn eines Einelektronensystems mit der Kernladung Z x e gilt:

Beim Übergang von der m-ten zur n-ten Quantenbahn (m > n) wird ein Photon der Energie h·f emittiert. Dabei gilt:

Die Energien sind eigentlich Frequenzen und die wiederum schwingen, wie ein harmonischer Oszillator, ähnlich einer schwingenden Saite als Obertonreihe

1 Licht ist elektromagnetische Strahlung im Bereich von ca. 400-800nm. Elektromagnetische Strahlung muss jedoch nicht als Licht sichtbar sein. ZB. UV Strahlung, Röntgenstrahlung, etc. ist ebenfalls elektro-magnetische Strahlung und von der selben Natur wie Licht.

2 Wenn Sie die den Beweis in der rechten Spalte verfolgen wollen, genügt es zu wissen, wie man zwei Brüche miteinander multipliziert. Zähler und Nenner werden kreuzweise multipliziert. (n-m)/n : n/(n+m) = (n-m) . (n+m) : (n . n). Im Abschnitt für physikalisch Interessierte, habe ich eine Erläuterung für physikalisch Interessierte hinterlegt. Vor Allem die Grundenergie m erfüllt nun zwei Aufgaben, dazu mehr im Dort.

3 Auch hier, wie in allen realen physikalischen Vorgängen entstehen geringfügige, kaum hörbare Ver-stimmungen durch Verwirbelungen und andere Nebeneffekte. Das übergeordnete Prinzip aber bleibt die Obertonreihe. Ebenso schwer durchschaubar hat man sich die Lichterzeugung in komplexeren Atomen vorzustellen.

4 Für den Übergang von n = 101 nach n = 100 erhalten wir E101−E100 = 0.03 meV oder 0.2 cm−1 bzw. 7 GHz. Die dem Übergang entsprechenden Lichtfrequenzen liegen also im Mikrowellenbereich. Siehe Vor-lesungsskript SS 2003, S.188, Prof. Dr. Rudolf Gross Walther-Meissner-Institut, Bayerische Akademie der Wissenschaften, und Lehrstuhl für Technische Physik (E23) Technische Universität München.

5 Das Applet, siehe dort : http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html

6 Quelle: http://www.itkp.uni-bonn.de/~metsch/pdm/pdmquant.html

7 Quelle: Physik IV : Atome, Moleküle : Wärmestatistik, Vorlesungsskript zur Vorlesung im SS 2003. Prof. Dr. Rudolf Gross. Walther-Meissner-Institut, Bayerische Akademie der Wissenschaften und Lehrstuhl für Technische Physik (E23), Technische Universität München, S.191-193.

Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos – Eine Kulturbetrachtung zur Zahl 5

„Gleich der Zahl Fünf ist auch der Fünfstern Symbol des Menschen, der fünf Finger, fünf Zehen und fünf Sinne hat und – wie aus den Darstellungen von Leonardo da Vinci und Baldassare Peruzzi bekannt – gleich einem Fünfstern in der Welt steht. Die vier Gliedmaßen entsprechen den vier Elementen, während der Kopf die quinta essentia symbolisiert, jenes geheimnisvolle, unsichtbare fünfte Element, das nur dem Menschen zugänglich ist. Nach antiker Lehre besteht alles, was erschaffen ist, aus den vier Elementen Feuer, Erde, Luft und Wasser. Das Unsichtbare, darüber hinausgehende Element, symbolisiert das Wesentliche, die Bedeutung, den Sinn, der in der Schöpfung verborgen ist, und den nur der Mensch zu erkennen vermag. Aristoteles nannte es Äther und die Alchemisten prägten dafür den Begriff Quintessenz.“
Zitat: Hajo Banzhav

Hildegard von Bingen sieht den Menschen ganz wesentlich durch die Fünf geprägt: Sie teilt ihn senkrecht von Kopf bis Fuß in fünf gleiche Teile, ebenso waagerecht, von den Fingerspitzen des einen ausgestreckten Armes bis zu denen des andern (diese Doppelheit weist auf die heilige Zehn hin).

Bei Jakob Böhme ist die fünfte Gestalt die Liebe. In seiner Schrift Mysterium
Pansophicum äußert er sich im fünften Text im Sinne einer Ambivalenz:
Fünfter Text
1. So denn also von Ewigkeit zwei Wesen sind gewesen, so können wir nicht sagen, daß eines neben dem andern stehe und sich fasse, daß eines das andere ergreife; und können auch nicht sagen, daß eines außer[außerhalb] dem andern stehe und eine Trennung sei; nein, sondern also erkennen wirs, daß das Geist-Leben in sich hineingewandt stehet und das Natur-Leben aus sich und vor sich gewandt stehe.
2. Da wirs denn zusammen einem runden Kugelrade vergleichen, das auf alle Seiten25 gehet, wie das Rad in Ezechiel26 andeutet.
3. Und ist das Geist-Leben eine ganze Fülle des Natur-Lebens, und wird doch nicht ergriffen von dem Natur-Leben. Und das sind zwei Principia in einem einigen Urstande, da jedes sein Mysterium hat und seine Wirkung. Denn das Natur-Leben wirket bis zum Feuer und das Geist-Leben bis zum Lichte der Gloria und Herrlichkeit; da wir dann im Feuer verstehen den Grimm der Verzehrung27 der Wesenheit der Natur und im Lichte die Gebärung des Wassers, welches dem Feuer die Gewalt nimmt, wie vorne in den »Vierzig Fragen von der Seelen«23 gemeldet wird.
4. Und ist uns also erkenntlich eine ewige Wesenheit der Natur gleich dem Wasser und Feuer, welche also gleichwie ineinandergemenget stehen, da es dann eine lichtblaue Farbe gibt, gleich dem Blitze des Feuers; da es dann eine Gestalt hat, als ein Rubin mit Kristallen in ein Wesen gemenget, da es als gelb, weiß, rot, blau in dunkel Wasser gemenget, da es als29 blau in grün ist, da jedes doch seinen Glanz hat und scheinet und das Wasser also nur ihrem Feuer wehret, daß kein Verzehren allda ist, sondern also ein ewig Wesen in zweien Mysterien ineinander, und doch der Unterschied zweier Prinzipien als zweierlei Leben.

Nach Pythagoras ist die Fünf die Zahl der Hochzeit, denn sie ist die Summe der ersten geraden und der ersten ungeraden Zahl 2+3. Gerade zahlen galten als weiblich, ungerade hingegen als männlich. In Schillers Picolomini heißt es:

Fünf ist des Menschen Seele.
Wie der Mensch aus Gutem und Bösem ist gemacht

Bei Eliphas Levi ist das Pentagramm Emblem der Zahl Fünf und als solche bringe es die Herrschaft der Seele über die vier Elemente zum Ausdruck. In der Offenbarung des Johannes erschienen die Seelen mit Eröffnung des fünften Siegels:

Kap.6.9. Und da es das fünfte Siegel auftat, sah ich unter dem Altar die Seelen derer, die erwürget waren um des Wortes GOttes willen und um des Zeugnisses willen, das sie hatten.

Das Pentagramm gilt sowohl als Schutzzeichen, wie auch als das teuflischen Zeichen des Bocks. Als Schutzzeichen sollte es Dr. Faust vor ungebetenen Eindringlingen schützen, doch es war „schlecht gezogen“ und so konnte Mephisto dennoch in faustens Studierstube eindringen.

Mephistopheles.
Gesteh’ ich’s nur! Dass ich hinausspaziere
Verbietet mir ein kleines Hinderniss,
Der Drudenfuß auf eurer Schwelle —

Faust.
Das Pentagramma macht dir Pein?
Ei sage mir, du Sohn der Hölle,
Wenn das dich bannt, wie kamst du denn herein?
Wie ward ein solcher Geist betrogen?

Mephistopheles.
Beschaut es recht! es ist nicht gut gezogen;
Der eine Winkel, der nach außen zu,
Ist, wie du siehst, ein wenig offen.

Faust Teil 1 J. W .v. Goethe

Zusammenfassung:
Das Pentagramm vereint in sich gegensätzliche Symbolbedeutungen.
mit der Spitze nach oben gilt es als Christuszeichen, als Schutzzeichen. Es ist das bekannteste und bedeutendste Schutzemblem des Mittelalters und der Renaissance. Mit der Spitze nach unten gilt es als Bockszeichen der Satanisten. Die Zahl Fünf gilt als Zahl der menschlichen Seele, als Zahl der Quintessenz und Lebensquell.
Die Zahl Fünf gilt als Metapher für die Quintessenz der Alchemie, aus welcher der Stein der Weisen hergestellt wird. Die Fünf gilt auch als Symbol der Seele und des Lebens.
Fünf ist aber ebenso die Zahl der Liebe, wie z.B. als fünfte Qualität bei Jakob Böhme. Das Pentagramm wird in England auch „Lovers knot“ genannt. Doch bei Böhme spiegelt sich ebenso die Ambivalenz der Zahl Fünf wieder, als Trennung in eine nach innen und nach außen gewandte Kraft.

Die vollkommene Zahl des Mikrokosmos
Alle Säugetiere haben fünfzählige Extremitäten
Ein Beitrag von Kathrin Buchwalsky aus der Sendung Quarks & Co im WDR vom 17.2.2003

Nicht nur der Mensch, sondern alle höheren Säugetiere haben 5-zählige Extremitäten. Ist es nur eine Laune der Natur, dass die Extremitäten aller Säugetiere inklusive die des Menschen fünfzählig sind? Oder sind die Lebensprozesse und Lebensformen aus einem unerfindlichen Grund auf die Zahl Fünf abgestimmt?

Die Geometrie der Zahl 5
Wenn man eine ebene Fläche parkettiert, so kann man das mit Dreiecken Sechsecken und Quadraten problemlos tun ohne dass Lücken bleiben. Mit regelmäßigen Fünfecken ist das nicht mehr möglich (Siehe Abbildung). Die 7-Eck Parkettierung bildet Überlappungen Die Fünfecke lassen Spalte, die man nicht mehr mit weiteren Fünfecken schließen kann. Die Fünf tanzt hier gewissermaßen aus der Reihe. Sie fügt sich nicht mehr in eine ebene Fläche ein und lässt Lücken.

Will man eine 5-Eck Parkettierung schließen, so entsteht ein räumlicher Körper. Die 7-Eck Parkettierung ist zwar Lückenlos, lässt sich aber nicht überlappungsfrei darstellen.

Versucht man mit entsprechenden Strukturen den Raum lückenlos zu füllen, so zeigt sich, dass dies niemals mit fünfzähligen Symmetrien möglich ist. Der Tetraeder und der Oktaeder, als auch der Würfel, können den Raum lückenlos füllen. Diese Körper ergeben aber niemals fünfzählige Symmetrien. Sie münden meist in sechszähligen Symmetrien. Auch die Muster eines Penrose sind keine Fünfecke, sondern aus Teilflächen verschachtelte Figuren. Das 7-Eck und alle Polygone mit mehr als sechs Ecken überlappen sich gegenseitig. Nur das regelmäßige Fünfeck lässt eine Lücke und fordert dazu auf, einen Körper zu bilden, den Pentadodekaeder, einer der fünf platonischen Körper.

Das Füllvermögen der Flächen und Raumstrukturen, 3- , 4-, und 6-zähliger Symmetrien führt dazu, dass fünfzählige Strukturen niemals in Kristallen auftreten. Sie sind jedoch häufig in lebendigen Organismen zu finden.

Es scheint, als ob sich die Fünf nicht in geschlossene und einheitliche Symmetrien einbinden lässt, sie rebelliert gegen regelmäßige Strukturen wie Luzifer, der schöne Engel, der sein wollte wie Gott und deshalb aus seinem Reich vertrieben wurde. Das gleiche Schicksal teilten die ersten Menschen mit ihm. Daraufhin sandte Gott seinen eingeborenen Sohn, um die Menschen aus dem Reich der von Satan beherrschten Welt zu erlösen. Diese Allegorie enthält die vollständige Symbolik der Zahl Fünf. Möglicherweise haben frühe Kulturen ihr Wissen so verschlüsselt weiter gegeben.
Das Äquivalent der Fünf ist der Fünfeckstern, auch Pentagramm genannt. Es fungiert als Schutzzeichen, wenn mit einer Spitze nach oben betrachtet und als Satanssymbol, wenn mit zwei Spitzen nach oben gewandt.
Siehe auch hier: Dagmar Wiechoczek

Das 5-Eck
Die Strecken a und c des 5-Ecks, sind die Strecken, die sich als erstes innerhalb des 5-Ecks bilden lassen. Die Strecke b ergibt sich aus c-a. Setzt man die Strecken zueinander ins Verhältnis, so sieht man, dass es sich um einen einzigartigen Sonderfall handelt. Die kürzere Strecke b verhält sich zur längeren a wie die längere a zur ganzen c = a + b Die Gleichung lautet: b/a=a/(a+b)

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung lautet:

Die Flächen A und B stehen ebenfalls in diesem Verhältnis. Es verhält sich die kleinere Fläche B zur größeren A, wie diese A zur Ganzen A+B.
Die Gleichung lautet wie bei den Linienstücken B/A=A/(A+B). Man kann nun genauso verfahren wie bei den Strecken und kommt zum gleichen Ergebnis:

Das Fünfeck enthält in Längen und Flächenproportionen den goldenen Schnitt

Den Zahlenwert nennt man den Goldenen Schnitt. Die Art der Teilung heißt stetige Teilung. Stetige Teilung deshalb, weil sich dieses Verhältnis stetig fortsetzen ließe. Am schönsten lässt sich dies veranschaulichen, wenn man aus den Strecken a und b ein Rechteck bildet. Ein solches Rechteck heißt goldenes Rechteck, weil die Seiten sich zueinander im goldenen Schnitt verhalten. Der Zahlenwert g (Minor des Goldenen Schnitts) und seinen Kehrwert 1/g=G (Major des Goldenen Schnitts). Diese Ziffer auf dem Taschenrechener eingegeben und den Wert 1/x berechnet, ergibt lediglich eine Änderung vor dem Komma alle Nachkommastellen bleiben erhalten.
Minor
g= 0,61803398874989484820458683436564…
Major
G= 1,61803398874989484820458683436564…

Das 5-Eck und der goldene Schnitt
Das regelmäßige Fünfeck enthält in allen seinen Bestandteilen, sowohl Linien als auch Flächen, Proportionen des Goldenen Schnitts.
Im nebenstehender Skizze verhalten sich:

S2/S1=g

S1/S3=g

S3/S4=g

Es gibt vier unterschiedliche Flächen A, B, C, und die Gesamtfläche des Fünfecks.

B:A=g

Die Innenfläche verhält sich zur Gesamtfläche wie 1:g4

C:B=1+2g

C:A=1+g2

Es gibt vermutlich in Pentagramm keine Längen- oder Flächenproportion, die nicht im Verhältnis des goldenen Schnitts und dessen Potenzen stehen.

Das Fünfeck und das ihm einbeschriebene Pentagramm ist ein vollkommener Ausdruck des goldenen Schnitts.

Das Fünfeck und das ihm einbeschriebene Pentagramm ist ein vollkommener Ausdruck des goldenen Schnitts.

Der goldene Schnitt und das goldene Rechteck

Die stetige Teilung

Teilt man vom goldenen Rechteck ein Quadrat ab, so ist die Restfläche wieder ein goldenes Rechteck. Von diesem kann man wieder ein Quadrat abteilen und es bleibt als Restfläche wieder ein goldenes Rechteck. Dieser Vorgang kann endlos fortgesetzt werden. Dabei streben die immer kleiner werdenden Restflächen in einer Spiralbewegung einem Punkt zu. Dieser Punkt oder Grenzwert, wird durch die stetige Teilung immer weiter angenähert, aber niemals erreicht.

Der Omegapunkt im goldenen Rechteck

Was die Zahl 5 mit dem goldenen Rechteck zu tun hat.

Der Punkt Omega, um den sich die goldene Spirale dreht, liegt auf den Diagonalen zweier goldener Rechtecke (Siehe oben). Vier dieser Punkte kann man bilden. Das einbeschriebene, schraffierte Rechteck (Bild unten), nimmt ein Fünftel der Gesamtfläche ein.

Der Goldene Schnitt im Pflanzenwachstum

Wenn man Blütenkelche genau betrachtet, dann fällt auf, dass die Blütenkörbchen Spiralmuster zeigen. Nur in wenigen Exemplaren sind sie aber so ungestört und Symmetrisch, wie in den Bildern unten.

Nicht nur Blütenkelche und Knospen weisen Spiralmuster auf, sondern auch die Nadeln an den Kiefernzweigen und anderen Nadelbäumen sind in Mustern mit rechts und linksläufigen Spiralen angeordnet.

Die Anzahl der links und rechts gewundenen Spiralen in den dargestellten Beispielen sind …3,5,8,13,21,34, … Es sind dies die Ziffern der Fibonaccireihe. Der Quotient aus zwei benachbarten Ziffern ergibt eine Näherung an den Goldenen Schnitt, die um so genauer ist, je größer die Ziffern werden.

Die Mathematik des Lebendigen

Die Anzahl der Spiralen hängt nicht von der Pflanzenart ab, sondern von der Größe des Blütenkelches, obwohl manche Pflanzen niemals eine große Zahl von Spiralen zustande bringen. Wenn man die Anzahl der rechts und linksläufigen Spiralen anschreibt,…,3,5,8,13,21,34,…dann kommt man auf die sogenannte Fibonacci Reihe, so benannt nach dem Mathematiker Leonardo von Pisa. Leonardo von Pisa wurde zwischen 1170 und 1180 geboren und wurde bekannt unter dem Namen Fibonacci. Er entdeckte, diese eigenartige Zahlenreihe.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,..
Diese Reihe hat die Eigenschaft, dass jeweils die Summe aus zwei Vorgängerzahlen Fn-1 und Fn, die nächste Zahl Fn+1 bilden. Man beginnt bei F0=0 und F1=1
F2 =0+1=1, F3 =1+1=2; F4 =1+2=3; F5 =2+3=5 usw.
Die Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen nähern sich immer genauer dem Goldenen Schnitt an, je größer die Ziffern werden.

Lukaszahlen: Nimmt man zwei beliebige Zahlen und verfährt wie mit den Fibonaccizahlen, so nähern sich die Quotienten zweier benachbarter Ziffern dem Goldenen Schnitt an.
Siehe dort: http://www.mathematik.ch/puzzle/solut31.php
Dies zeigt, dass der Goldene Schnitt lediglich durch einen Algorithmus, zustande kommt. Die dabei verwendeten Anfangszahlen spielen nur eine untergeordnete Rolle. Der Goldene Schnitt entsteht also durch eine Bewegung, oder Handlungsanweisung und bildet somit ein Fraktal. Dieses weist auch Selbstähnlichkeit auf.

Zahlenfolgen weisen auffällige periodische Wiederholungen der Endziffern auf. Bei den Fibonacci-Zahlen kehrt nach einer Periode von 60 die Folge der Endziffern wieder. Nach einem Zyklus von 300 wiederholen sich die letzten zwei Ziffern, nach einem Zyklus von 1500 die letzten drei Stellen und so fort. Bei den Lucas-Zahlen kehren die letzten zwei Ziffern in einem Sechzigerzyklus wieder. Ein weiteres Phänomen ist, dass bei beiden Folgen die Verhältnisse aufeinanderfolgender Werte gegen den Goldenen Schnitt konvergieren
Zitat siehe dort: http://www.ethbib.ethz.ch/exhibit/fibonacci/fibonacci-poster-07-lucas.html

Nun ist 60*5=300 und 300*5=1500 usw. Die Endziffern wiederholen sich also in einem 5-er Zyklus, wie seltsam…

Die Konstruktion und der goldene Winkel

Der genaue Zahlenwert des goldenen Schnitts, wird aus der Konstruktion der stetigen Teilung und der Lösung, der daraus ableitbaren quadratischen Gleichung, erhalten.

Die Konstruktion entspricht der Berechnung des Goldenen Schnitts (Wurzel 5 -1)/2.
Es gibt wesentlich schönere Konstruktionen.
Siehe dort: http://www.goldennumber.net/geometry.htm

Mit dem Wissen um den genauen Zahlenwert des Goldenen Schnitts, kann man nun den Blattstellungen der Pflanzen noch auf eine andere Weise zu Leibe rücken.
Misst man den Winkel, den die Blätter einer schön entwickelten Pflanze mit wechselständigen Blättern zueinander einnehmen, so kommt man auf einen Winkel von ca. 222,5 Grad (bzw. der Ergänzungswinkel 360-222,5=137,5). Das ist annähernd ein Anteil von 0.618.. von 360 Grad. Also wieder der Goldene Schnitt. Die dargestellte Computersimulation unten zeigt, dass die Anzahl der Spiralen lediglich von der Anzahl der vorhandenen Blütenstempel abhängt. Die Genauigkeit des Winkels muss sehr hoch sein, damit das Bild der Spiralmuster entstehen kann.

Man kann sehen, dass auf der grünen Spirale, jeweils im Abstand des goldenen Winkels (ca. 137,5°) Kreise platziert wurden. Diese Kreise sind mit gelben Nummern versehen. So entsteht das Muster einer schön entwickelten Sonneblume, eines Gänseblümchens, und all der anderen Korbblütler. Rot eingezeichnet ist eine rechts und eine links gewundene logarithmische Spirale. Die Anzahl dieser Spiralen sind meist Fibonaccizahlen, selten Lukaszahlen. Im obigen Fall 8 und 13. Rechts unten eine Figur mit kleinerer Steigung der Basisspirale und einer Anzahl von 13 zu 21.

Die Selbstähnlichkeit und Goldener Schnitt

Das Problem der Genauigkeit

Es gibt tausende von Proportionen, sowohl am menschlichen Skelett, als auch bei allen möglichen Tier- und Pflanzenwuchsformen. An allen diesen wird seit Jahrhunderten gemessen und gerechnet. Jedoch sind die meisten dieser Daten nicht exakt genug, um mit Sicherheit sagen zu können, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt. Lediglich der Spiralwuchs der Pflanzen ist so exakt, dass er heute noch wissenschaftlich untersucht wird.

Die „Stimmung“ der Zahl 5

Die Frequenzen der klassischen Dreiklänge in Dur und Moll haben einfache ganzzahlige Verhältnisse. Erklingt beispielsweise der einfache Dur-Dreiklang C-E-G, so verhalten sich die Frequenzen dieser Töne zueinander wie 4 : 5 : 6. Dies gilt jedoch ebenso, wenn wir die Töne nach oben oder unten verschieben. Egal in welcher Oktavlage und egal wie die Instrumente gestimmt sind, unser Ohr erkennt den Dur-Dreiklang in jeder Lage und in jeder Stimmung so, als ob wir die zugrunde liegenden Frequenzen angeschrieben und rechnerisch gekürzt hätten. Man kann daher die Proportionsreihe
4 : 5 : 6
als Glyphe für den Dur-Dreiklang sehen. Unser Ohr scheint alle Frequenzen, welche diesen Proportionen zugrunde liegen sofort zu erkennen, so, als ob es unbewusst rechnen würde.

Der Dur-Dreiklang

Die Proportionen der Frequenzen sind: Die große Terz 4:5 (im Beispiel C-E), die kleine Terz 5:6 (im Beispiel E-G). Der Grundton (C) verhält sich zum oberen Ton (G) wie eine Quinte 2:3 (in der Tabelle 264Hz/396Hz=4/6=2/3). In diese leere Quinte wird eine Terz (C-E) gesetzt und es entsteht der C-Dur Dreiklang, im Beispiel C-E-G

Der klassische Dur-Dreiklang, das sind drei Töne, deren Frequenzen sich verhalten wie
4:5:6
Alle Dur-Dreiklänge haben dieses Frequenzverhältnis.

Der Moll-Dreiklang

Sonntag, 1.Mai 2010

9.00 Uhr Harmonik im Planetensystem – erleben Hartmut Warm
10.00 Uhr Ergänzungen und Diskussion
10.30 Uhr Heilen mittels Harmonik? Geschichte – Theorie – Praxis (H.G. Weidinger, O. Hoch, M. Seliger)
11.30 Uhr Ergänzungen und Diskussion
12.00 Uhr Der meditative Erkenntnisweg – eine Bereicherung der Harmonik, Biljana Papazov-Ammann
12.30 Uhr Schlussworte von H.G. Wweidunger und K. Ammann

Mittagessen im Logenhaus
Ende des Symposions

Einladung Symposium 2011 als PDF

Der Verein Harmonik-Netzwerk
Der Verein wurde am 26. Januar 2009 in Darmstatt von den folgenden Gründungsmitgliedern ins Leben gerufen:
Klaus Ammann, Peter Michael Braun, Alexander Beckmann, Olga-Maria Hoch, Henny Jahn, Mathias Musch, Henry Nold, Hartmut Warm, Hans G. Weidinger, Martin Seliger.
Der gesamte Wortlaut der Satzung ist im Internet unter

http://harmonik-netzwerk.org/satzung/

zu finden. Der dort genannte Vorstand wurde auf der 2. Mitglieder-Versammlung am 1. Mai 2010 in Nürnberg wie folgt geändert:
Vorstand Dr. Hans G. Weidinger,
er übernimmt die laufende Vereinsgeschäftsführung, insbesondere die Koordination der Aktivitäten der Vereinsmitglieder.
Vorstand Prof. Klaus Ammann,
er übernimmt die weitere Entwicklung der internationalen Beziehungen, insbesondere über den deutsch-sprachigen Raum (D, CH, A) hinaus.
Kassenwart Ernst Waldemar Weber.
Schriftführer Willibald Limbrunner

Ziele des Vereins
Das übergeordnete Ziel des Vereins ist die Förderung und Verbreitung der Harmonik als ein ganzheitliches Denk- und Erlebnisprinzip auf der Grundlage der Entsprechung von Klang, Zahl und Form im Geiste von Pythagoras, Johannes Kepler und Hans Kayser.
Insbesondere setzt sich der Verein zum Ziel, die heute vielerorts und oft noch ohne gegenseitige Verbindung laufenden Anstrengungen für ein harmonikales Weltverständnis zusammenzuführen und zu vernetzen.
Arbeitsweise des Vereins
Der Erreichung der genannten Ziele des Vereins dienen insbesondere:
– unser WEB-Auftritt: http:// Harmonik-Netzwerk.org,
– ein in Zukunft jährlich stattfinden des Harmonik-Symposion,
– die Initiierung kleinerer „ad-hoc“ Arbeitstreffen,
– ein periodisch erscheinendes Mitteilungsblatt
Abgrenzung des Vereins
Der Begriff der Harmonik darf nicht mit der Harmonielehre in der Musik-Wissenschaft und -Praxis verwechselt werden.
Vielmehr geht es bei der hier gemeinten Harmonik darum, objektiv wissenschaftlich abgesicherte Grundregeln und Strukturen überall in der Natur aufzuzeigen, denen subjektiv anhörbare und anschaubare Empfindungen im Menschen entsprechen, so dass ein ganzheitliches Erleben des Wirkens der Natur in allen ihren Reichen möglich wird.
Ebenso wird mittels der Harmonik aufgezeigt und nachvollzogen, dass auch die Grundstrukturen des künstlerischen Schaffens des Menschen den gleichen Gesetzen gehorchen.

Ist die Obertonreihe als Fundament der Harmonik ein Irrtum? Im Laufe des Vortrags werden diese und andere Fragen aufgeworfen und mit neuen Fakten belegt. Das in den Jahrhunderten verschüttete Wissen um die pythagoreischen Methoden des Experimentierens eröffnet den Weg, Symmetrie und Zahl als neues Fundament der Harmonik zu begründen.

VOM KLANG DES WASSERSTOFFATOMS UND ANDEREN SYMMETRIEN

Vortrag auf dem Harmonik-Symposion 2010 am 1. Mai 2010 Willibald Limbrunner

Teil 1 Kritische Betrachtungen zur Verwendung der Obertonreihe

Die Reihe der Intervalle, Oktave, Quinte, Quarte, Gr. Terz, Kl. Terz, sowie die Septime, sind Teil der Obertonreihe und lassen sich an einer schwingenden Saite (Saiteninstrumente) oder einer schwingenden Luftsäule (Blasinstrumente) hörbar machen. Der Zusammenhang von Saitenlänge, bzw. Luftsäulenlänge und Frequenz bildete seit Hans Kayser die Grundlage der Harmonik. Die Frequenzen dieser Intervalle verhalten sich umgekehrt proportional zu derenWellenlängen. Schwingt eine Saite mit der Länge 120cm in einer Frequenz von 440Hz, so erklingt eine Saite mit der halben Länge von 60cm in der doppelten Frequenz mit 880Hz. Beide Saitenlängen weisen ein Längenverhältnis von (120cm:60cm=2:1) auf, während die Frequenzen im Verhältnis (440Hz:880Hz=1:2) stehen. Die dabei gebildeten Verhältnisse nennt man rational (Rationale Zahlen). Anschaulich gesagt sind es stets Verhältnisse ganzer Zahlen. Die Anhörung des oben gegebenen Exempels ergäbe ein Oktavintervall, das unter Harmonikern salopp 1/2 oder 1:2 angeschrieben wird. Es sind Frequenzverhältnisse. Die Längenverhältnisse verhalten sich immer umgekehrt. Ein Saiten-Längenverhältnis 2:1 ergibt immer ein Frequenzverhältnis 1:2 und umgekehrt. Physikalisch sind die Saitenlängen immer identisch mit der Grundwellenlänge. Ausserdem schwingt jede Saite in ganzen Vielfachen ihrer Grundwellenlänge, in der so genannten Obertonreihe. Im Beispiel wären das die Vielfachen von 440Hz, also 1x440Hz, 2x440Hz usw. Dadurch wird aus einer Frequenz ein Klang. Die Tonhöhe aber ist immer durch den Grundton gegeben. Es ist jedoch selbst unter Harmonikern wenig bekannt, dass das gegebene Beispiel prinzipiell nur auf schwingenden Saiten und geschlossene Luftsäulen zutrifft. Mit prinzipiell meine ich das physikalische Prinzip, das sich als Naturgesetz hinter der Erscheinung der Obertonreihe und dem Verhältnis von Wellenlänge und Frequenz verbirgt. Letzteres ist mit der einfachen Gleichung c=f physikalisch beschreibbar. Dahinter verbirgt sich die Konstanz der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen.

Dieses Prinzip der Proportionen zwischen der Länge und der Frequenz (Tonhöhe) einer schwingenden Saite oder Luftsäule, galt in der Harmonik des 20. Jahrhunderts als Grundlage und Ausgangsbasis einer allgemein verstandenen Naturbetrachtung. Das Monochord war das primäre und im Grunde das einzige Experimentierfeld. Von im ausgehend wollte man den ganzen Kosmos erfassen. Dies hat meines Erachtens zu einem grundlegenden Missverhältnis zur klassischen Physik geführt. Es gipfelte etwa in der Vorstellung, der ganze Kosmos von den Planetenumläufen bis zu den Elektronen der Atomhülle liesse sich durch „Oktavierung“ (Siehe „die kosmische Oktave“ von Hans Custo) in den hörbaren Bereich transponieren. Somit also sinnlich wahrnehmbar und im Sinne einer „Akroasis“ (Anhörung) erlebbar machen. Dass aber beispielsweise eine Halbierung des Planetenabstandes keineswegs zu einer Verdoppelung seiner Umlaufzeit führt, wurde dabei salopp ignoriert. Das heisst, der oben gegebene Zusammenhang gilt im „Kosmos“ nicht. Das Planetensystem ist kein Monochord. Dieses Missverhältnis muss grundlegend geklärt werden, in dem wir uns zunächst noch weitere Gesetzmässigkeiten auf unserer Erde ansehen, bevor wir den ganzen Kosmos in unsere Betrachtung mit einschliessen. Schon die Obertonanalyse schwingender Körper an Stäben, Röhren, Platten, Glocken und Schalen zeigen, dass deren Obertöne nicht mehr der Obertonreihe folgen. Diese Obertöne sind nicht mehr ganze Vielfache einer Grundfrequenz. Die Obertöne solcher Körper lassen sich nur aus komplexen goniometrischen Gleichungen gewinnen, die sich einer analytischen Lösung weitgehend entziehen. Sie sind somit nicht annähernd „harmonikal“ im Sinne einer harmonischen Folge von Obertönen.

Harmonische Obertöne beschränken sich allgemein auf geschlossene Luftsäulen (Blasinstrumente) und ideale, d.h. nicht massenbehaftete Saiten (Saiteninstrumente). Eine allgemein verstandene Naturbetrachtung aber, sollte allgemeiner und breiter gefasst werden. In einem ersten Schritt habe ich Phänomene schwingender Stäbe, Röhren, Platten, Glocken und Schalen eingehender untersucht. Das Ergebnis diese Untersuchung war Inhalt des ersten Teils meines Vortrags auf dem Symposium am 1. Mai 2010, in Nürnberg. Das Problem der nicht harmonischen Obertöne lässt sich durch das harmonikale Grundprinzip des Vergleiches von je zwei solcher Klangkörper beheben. Ton bestimmend ist dann die Grundschwingung (1. Partialton)1. Das Geheimnis der benannten Klangkörper ist, dass sie nur dann ganzzahlige Tonverhältnisse aufweisen, wie wir sie vom Monochord her kennen, wenn deren Längen bzw. Durchmesser irrationalen Verhältnissen entsprechen. Wenn also beispielsweise zwei Klangröhren ein Längenverhältnis von 1:Wurzel(2) aufeisen, dann erklingen sie in einem Oktavintervall mit dem Frequenzverhältnis 2:1.

Dabei ist darauf zu achten, dass die Klangkörper so gestaltet werden, dass deren Obertonreichtum die Grundschwingung nicht überdeckt. Beachtet man aber diese Gestaltregeln, so kann man wie beim Monochord die ganze Palette der Intervalle erzeugen. Die Experimentiervielfalt mit Klangkörpern wie Gläser, Glocken und Anderem, wurde den Pythagoreern seit zweieinhalbtausend Jahren nachgesagt. Wie auf manchen mittelalterlichen Darstellungen zu sehen, führten die Pythagoreer wohl solche Klangexperimente durch. Natürlich wissen wir nicht in wie weit die überlieferten Darstellungen auf Tatsachen beruhen. (Siehe Bild 2) . Physikalisch betrachtet handelt es sich hierbei um die ton gebenden Biegeschwingungen solcher Körper und nicht um Körperschall 2. Biegeschwingungen bilden eine ganze Klasse von Naturerscheinungen, die von Johannes Kepler bis Hans Kayser vollkommen ignoriert wurden. Wenn etwa zwei KlangroÅNhren in einem Längenverhältnis von eins zu Wurzel aus Zwei stehen, so erklingt ein Oktavintervall. Dieses Prinzip von irrationalen Verhältnissen zieht sich durch die ganze Palette dieser Klangkörper. Dass die Inversion dieses Prinzips zum Verhältnis von Gravitationskraft zu Bahnradius eines Planeten führt sollte Anlass dazu geben, auchirrationale Zahlenverhältnisse in die Harmonik einzuführen. Ihre „Akroasis“ bewerkstelligen wir beispielsweise über Klangröhren, Klangschalen, Glocken, Gläser usw. Wir haben somit, wie in Bild 2 zu sehen ist, zur Experimentierfreude der Pythagoräer zurück gefunden. Ich möchte daher vorschlagen, dass wir diese neue Art einer Harmonik Pythagoräische Harmonik nennen. Ich konnte ausserdem zeigen, dass die Längen und Durchmesserproportionen solcher Klangkörper den Proportionen der Symmetrieachsen von Quadrat, reg. Dreieck und reg. Fünfeck Entsprechen. So erklingen die Grundintervalle der Harmonik aus den Symmetrien dieser einfachen regelmässigen Polygone. Quadrat, reg. Dreieck und reg. Fünfeck sind auch die Begrenzungsflächen, welche die Platonischen Körper 3 bilden und mit ihnen lässt sich auch die Ebene lückenlos parkettieren (Platonische Parkettierung)4. Weitere Grundintervalle ergeben sich in den Symmetrieachsen der platonischen Körper und der Ebenenparkettierung mit Sechseck, Achteck, bis hin zum Zwölfeck (Siehe Bild 1, 12-Eck mit allen Diagonalen). Mit diesen gelingt ebenso die lückenlose Flächenfüllung. (Archimedische Parkettierung)5. Auch Archimedische Körper, ihre polaren Gegenformen und Sternkörper weisen diese Zusammenhänge auf.

Alle diese Proportionen sind einerseits irrational, andererseits sind es die maximalen Grundsymmetrien von Ebene und Raum.

Biegeschwingungen in Festkörpern sind eine physikalische Naturerscheinung, die sogar auf molekularer Ebene auftritt (Siehe dort)6. Die Längenproportionen der Basissymmetrien von Ebene und Raum entsprechen jenen Längen, in denen die Klangkörper in den Grundintervallen unserer Musik erklingen.

Anders formuliert:

Die Grundsymmetrien von Ebene und Raum folgen über das Vehikel der Biegeschwingungen den natürlichen Intervallen unserer Musik.

Diese Betrachtung zeigt, dass wir das Prinzip der Symmetrie als fundamental erachten müssen. Es ist eines der unbestreitbaren Grundprinzipien bei der Bildung des Kosmos und es sollte DAS Basisprinzip der Harmonik sein. Wir befinden uns in dieser Hinsicht im Einklang mit dem Forschungsstand der Quantenphysik. Gell-Mann postulierte schon 1964 die Existenz der Quarks7 und er tat dies aufgrund reiner Symmetriebetrachtungen. Im Buch „Zahl Seele Kosmos“ habe ich diesen neue Ordnung der Quarks im Anhang dargestellt und harmonikal erschlossen. Das Buch befindet sich noch etwa bis Ende 2010 in Vorbereitung.

Ausblick: Dass Biegeschwingungen eine allgemein gültige Naturerscheinung darstellen und auf grundlegenden Prinzipien der klassischen Physik (Energieerhaltung) beruhen, sollen die künftigen Forschungen zeigen. Vielversprechende Ergebnisse habe ich bereits gefunden. Auch ist eine vollständige Darstellung und Systematisierung aller Symmetrien noch ausstehend. Ich werde weiterhin versuchen, die Harmonik auf eine breitere physikalische Basis zu stellen. Dabei ist jetzt schon klar, dass das mathematische Prinzip der Quadratur und deren Umkehrung in allen Bereichen physikalischer Naturerscheinungen auftritt. Es bestimmt das Prinzip vieler Schwingungsvorgänge. Das Verhältnis von Frequenz und Energie ist per se quadratisch. Es ist daher ein folgenreicher moderner Irrtum zu glauben, wir könnten die ganze Natur in den einfachen Reihen ganzer Zahlen fassen, wie wir sie in der harmonischen Obertonreihe vorfinden. Eine blosse „Oktavierung“8 über die Grenzen physikalisch prinzipiell unterschiedlicher GesetzmaÅNssigkeiten ist eine unstatthafte Vereinfachung, die zur Unglaubwürdigkeit esoterischer Weltsichten geführt hat. Das Prinzip der „Akroasis“(Anhörung) ist nicht hinreichend für eine umfassende Betrachtung der vielfältigen Natur. Wir müssen es durch das gleichberechtigte Prinzip der „Aisthesis“(Anschauung) ergänzen, denn manche Bereiche der Akustik lassen sich per se nicht durch „Akroasis“ erfassen, ja sie widersprechen ihr sogar diametral, was künftig ebenso gezeigt werden muss.

Teil 2 „Vom Klang des Wasserstoffatoms“,

Der 2. Teil meines Vortrages befasste sich mit dem Thema der Anhörung des Atoms. Genauer, mit der Elektronen besetzten Atomhülle. Die Linien-Spektren des Wasserstoffatoms sind seit ihrer Entdeckung Gegenstand eingehender Untersuchungen, denn nur aus ihnen kann man auf die innere Struktur der Atomschale schliessen. Auch hier begegnen wir zwangsläufig den Untersuchungen von Hans Custo. Custo hat seine Untersuchung auf einen blossen Vergleich des Linienspektrums mit einem dichten Netz von Intervallen angelegt. Ein solcher Vergleich ist jedoch dann unstatthaft, wenn man das Netz der Intervalle so dicht macht, dass die Frequenzen, die das Wasserstoffatom im Linienspektrum zeigt, immer irgendwie annähern kann. Man könnte jedes Objekt auf diese Weise vermessen, um Ähnlichkeiten festzustellen. Die einzig erlaubte und statthafte Methode ist meines Erachtens die der Physik. Man muss also die Gleichung betrachten, mit denen man das Spektrum des Wasserstoffatoms berechnen kann. Diese Gleichung ist als Rydberg-Formel bekannt. Ich konnte im Vortrag zeigen, dass meine mathematisch korrekte Umformung der Rydberg-Formel zu einer Obertonreihe der folgenden Form führt:

(1/2):(2/3):(3/4):(4/5): …

Das ist eine klarer mathematischer Hinweis, dass es im Wasserstoffatom nun tatsächlich zur Bildung einer Obertonreihe kommt und dass diese Obertonreihe nicht nur im Wasserstoffatom, sondern in allen Atomen mit einem Elektron in der Aussenschale (bestimmte Ionen) vorkommt, ja sogar bei Röntgenstrahlung die zentrale Rolle spielt. Alle Spektralserien solcher Atome lassen sich mit dieser Umformung erfassen. Im Folgenden ist die Umformung angegeben.

Ausblick: Die physikalische Deutung dieses Ergebnisses wird Thema künftiger Forschungen sein. Sollte dies gelingen, dann wäre damit erwiesen, dass die Obertonreihe grundlegend für den kosmischen Entstehungsprozess der Atomhülle ist.

Hartmut Warm untersuchte die früheren Vorstellungen von Pythagoras und Johannes Kepler zur harmonikalen Ordnung im Planetensystem mit modernen astronomischen Verfahren und entdeckte, wo in der Tat harmonikale und geometrische Ordnungsstrukturen vorliegen, die sich zum einen von rein zufälligen Befunden signifikant abheben, zum anderen unser ästhetisches Empfinden in hohem Maße ansprechen.

Harmonikale und geometrische Strukturen in unserem Planetensystem Vortrag auf dem Symposion

“Vielfalt und Einheit in der Harmonik”

Nürnberg, 01. – 02. Mai 2010

1. „Sphärenmusik“

Die Vorstellung von einem harmonisch geordneten Kosmos durchzieht die Geistesgeschichte der Menschheit seit mehreren Jahrtausenden. Pythagoras vermochte der Legende nach, die „Sphärenmusik“ zu erlauschen; seine Entdeckung, daß konsonante musikalische Intervalle einfachen Zahlenverhältnissen entsprechen, wurde u.a. von Platon auf die antiken Modelle vom Aufbau des Kosmos übertragen. Zu Beginn der wissenschaftlich orientierten Neuzeit brachte Johannes Kepler neue Impulse in die alten intuitiven Vorstellungen; er war es, der allen moderneren Vorstellungen von Sphärenharmonie das Fundament gegeben hat. Mit Hilfe der von ihm entdeckten Planetengesetze versuchte er, die überkommenen Ideen auf eine solide Grundlage zu stellen. Die himmlische Musik, der Johannes Kepler auf der Spur war, war für ihn „nur im Geiste vernehmbar“, d.h. es ging ihm darum, eine möglichst genaue Übereinstimmung zwischen musikalischen Intervallen und planetarischen Verhältnissen zu finden. Er glaubte, diese in den extremen Winkelgeschwindigkeiten der Planetenbahnen entdeckt zu haben. In Keplers Worten sind dies die von der Sonne aus gesehenen Winkel, welche die Planeten in gleichen Zeiteinheiten im Aphel und Perihel (sonnenfernster und -nächster Punkt der Ellipsenbahn) zurücklegen. Nach ihm wurden andere Parameter herangezogen, die die genannte Bedingung erfüllen sollten; Hans Kayser z.B. entwickelte eine planetarische Tonleiter aus den Logarithmen der Abstände, Thomas Michael Schmidt aus den synodischen Umlaufzeiten und andere mehr. All den in der Literatur zu findenden Bemühungen ist allerdings gemeinsam, daß sie nicht untersuchen, ob die gefundenen Übereinstimmungen im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung signifikant sind. Mit anderen Worten muß die Frage gestellt werden, ob und wie stark vermeintliche planetarische Harmonien von einer zufälligen Verteilung abweichen. Denn in einer Reihe von Verhältniszahlen, die zwischen Parametern wie Abständen, Geschwindigkeiten etc. gebildet werden können, wird es immer einige geben, die relativ nahe bei musikalischen Intervallen wie 3:2, 4:3 usw. liegen. Doch soll die mathematische Seite dieses Themas an dieser Stelle nicht weiter ausgeführt werden, eine einfache Graphik kann sehr schnell verdeutlichen, um was es dabei geht.

Aufgetragen sind hier die Verhältnisse der Winkel aus Johannes Keplers genannter Zuordnung. Die horizontalen Linien geben die musikalischen Tonverhältnisse an, und man sieht auf den ersten Blick, daß nur etwa die Hälfte der planetarischen Intervalle den musikalischen nahekommen. Ohne weitere Berechnungen ist es offensichtlich, daß damit keine besondere Abweichung von einer zufälligen Verteilung zum Tragen kommen kann. Und auch bei der Analyse der anderen genannten Himmelsharmonien ergibt sich kein wesentlich günstigeres Bild, statistisch signifikante Übereinstimmungen mit musikalischen Intervallen sind leider nirgendwo zu finden. Doch Keplers Irrtum in der konkreten Ausgestaltung seiner Grundideen ist immerhin verzeihlich, da es zu seiner Zeit noch keine Wahrscheinlichkeitsrechnung gab. Zum weiteren forderte Kepler in seiner Harmonice Mundi ausdrücklich dazu auf, ein „den Himmelsbewegungen besser entsprechendes System“ (als das seine) aufzubauen. Aus den angedeuteten Analysen geht scheinbar hervor, daß die Ablehnung der „Spärenharmonie“ durch die moderne Astronomie zu recht besteht (Keplers diesbezügliche Vorstellungen werden in der Fachliteratur in der Regel als „schöne Träumerei“ o.ä. bezeichnet). Doch kam bisher – soweit dem Autor bekannt – noch niemand auf die Idee, die kleinen Halbachsen der elliptischen Planetenbahnen in die Untersuchungen einzubeziehen. Zu bestimmten Zeitpunkten haben die Planeten auf ihren Bahnen um die Sonne exakt den Abstand ihrer kleinen Halbachse b von dem Zentralgestirn. Ihre Geschwindigkeit kommt dabei fast haargenau dem arithmetischen Mittel der extremen Geschwindigkeiten gleich (die extremen Geschwindigkeiten ergeben sich im Aphel, dem sonnenfernsten, und im Perihel, dem sonnennächsten Punkt der Bahn). Setzt man nun die Geschwindigkeiten im Abstand der kleinen Halbachse (Geschwindigkeit „in b“ in der Abbildung 1.2) und diejenigen im Aphel in Bezug, ergeben sich hochsignifikante Übereinstimmungen mit musikalischen Intervallen.

13 von 17 möglichen Proportionen liegen nun dicht bis sehr dicht an den musikalischen Verhältnissen. Mit entsprechenden statistischen Verfahren läßt sich errechnen, daß diese Häufung lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1:10.000 zufälliger Natur sein könnte (berücksichtigt man, daß es etwa 10 verschiedene Möglichkeiten gibt, Verhältnisse verschiedener Parameter zu bilden, verbleibt immer noch ein Wert von 1:1.000). Die uralte Idee der Sphärenharmonie und insbesondere die Grundgedanken Johannes Keplers haben damit zum ersten Mal eine tatsächliche, im Prinzip von jedermann nachprüfbare Bestätigung gefunden. Es ist dabei nicht von einem echten Beweis die Rede, welche mit den Mitteln der Wahrscheinlichkeitsrechnung eben nicht erbracht werden kann. Gleichwohl kann man anderslautend festhalten, daß bei der Formierung unseres Planetensystems mit mindestens 99,9 %-iger Wahrscheinlichkeit ein Einfluß gewirkt hat, der zu einer den harmonisch-musikalischen Zahlenverhältnissen entsprechenden Anordnung der Geschwindigkeiten geführt hat. Und auch im Mikrokosmos ist eine ähnliche Strukturiertheit nach musikalischen Verhältnissen anzutreffen. Setzt man nämlich die Ruhemassen der 15 langlebigsten Elementarteilchen auf die gleiche Weise in Beziehung, ergibt sich das folgende Bild. Die Wahrscheinlichkeit, daß es sich um eine rein zufällige Übereinstimmung handeln könnte, liegt dieses Mal bei ca. 1:2000.

Abbildung 1.3 14 Intervalle der Ruhemassen der 15 langlebigsten Elementarteilchen (transponiert in eine Oktave), jeweils bezogen auf das Proton; musikalische Intervalle sind durch horizontale Linien markiert. © Keplerstern Verlag

2. Geometrische Anordnung der Planeten

So wie die Idee von einer Sphärenharmonie seit Jahrtausenden in der Menschheit verankert ist, so wurde seit wohl ebenso langer Zeit ein Zusammenhang zwischen Geometrie und den himmlischen Verhältnissen erahnt. Platon brachte die fünf existierenden und nach ihm benannten regelmäßigen Körper mit den Elementen Feuer, Wasser, Erde, Luft und himmlisch-ätherische Substanz in Verbindung. Letztere ordnete er dem Dodekaeder zu, jener Figur, die von zwölf Fünfecken umgrenzt wird. Auch in geometrischer Hinsicht war es erst Johannes Kepler, der die alten Vorstellungen knapp zwei Jahrtausende später weiterentwickelte. Ziemlich zu Beginn seiner Suche nach der Ordnung im Sonnensystem kreierte er sein bekanntes Modell, wonach die Anordnung der sechs zu seiner Zeit bekannten Planeten durch die platonischen Körper geregelt wird. So entspricht beispielsweise das Verhältnis der Radien von Um- und Inkugel des Dodekaeders (allerdings nur sehr grob) demjenigen der mittleren Sonnenabstände bzw. der großen Halbachsen der Ellipsenbahnen von Mars und Erde.

Die Strukturiertheit des ganzen Systems, so wie sie sich in der Signatur der Sphären kundtut, wird jedoch von den kleinen Halbachsen b vorgegeben, denen ja schon bei den Harmonien der Geschwindigkeiten eine zentrale Bedeutung zukam. Am auffälligsten ist zunächst, daß erster und vierter Planet, sowohl von innen als auch von außen gezählt, bezogen auf ihre kleinen Halbachsen im Verhältnis 4:1 stehen. Erster und sechster Planet, wiederum von innen und von außen gerechnet, weisen die Proportion 25:1 auf. Dadurch ergibt sich eine sehr klare übergeordnete Struktur, die von weiteren Verhältnissen kleiner ganzer Zahlen untergliedert wird. Diese Ordnung ist in der folgenden Abbildung durch entsprechende Kreise symbolisiert. Die Abweichungen von den realen Werten betragen jeweils nur wenige Promille, außer bei den Intervallen 8:3 bzw. 3:2, wo sie etwas über ein Prozent ausmachen. (Die genauen Werte finden sich in dem Buch Die Signatur der Sphären, S. 23 ff.)

Es ist dies eine so bestechend klare und einfache Anordnung, daß man sich ein weiteres Mal wundern muß, warum diese bisher noch nirgendwo erwähnt worden ist (nach Kenntnissen des Autors jedenfalls). Es ist wie eine Spiegelung um Jupiter, das größte Mitglied der planetarischen Gemeinschaft. Er, die Venus und Neptun sind in die gezeigte Ordnung allerdings noch nicht integriert. Dies ermöglicht jedoch eine geometrische Darstellung mit Hilfe der einfachsten regelmäßigen Figuren: Kreis, Quadrat, Dreieck. Denn die Proportionen 2:1 und 4:1 ergeben sich auch durch die Flächenverhältnisse von Um- und Inkreis eines Vier- bzw. Dreieckes. Der Kreis teilt dabei Proportionen von der Gestalt 4/π, π/2 etc. ab. Beispielhaft für die 4 äußeren Planeten kommt man so zu folgender Anordnung:

Man wird vielleicht zunächst überrascht sein, drei der Planetenbahnen als Quadrate wiederzufinden. Es handelt sich jedoch um die Darstellung des Ordnungsprinzipes von Strecken, den kleinen Halbachsen. Deren Verhältnisse sind hier wie die Flächen von Vierecken bzw. der eines Kreises aufeinander bezogen. Warum aber spielen die kleinen Halbachsen in der Anordnung der Planetenbahnen die entscheidende Rolle und warum sollen sich deren Proportionen nach Flächenverhältnissen gestalten? Eine Antwort könnte darin zu finden sein, daß die kleinen Halbachsen das geometrische Mittel von Aphel- und Periheldistanz bilden, für eine geometrische Anordnung insofern prädestiniert sind. Wenn dann die Entfernungsmaße nach Flächenverhältnissen bestimmt sind, ergibt sich nach den Keplerschen Gesetzen - zumindestens trifft das für Kreise zu -, daß die Geschwindigkeiten etwa den Radien und die Umlaufzeiten den zu bildenden Kugeln entsprechen. Doch wie dem auch sei, es wird hier keine neue physikalische Theorie aufgestellt, sondern eine Beschreibung von sehr bemerkenswerten Phänomenen geliefert. Denn auf ähnliche Weise lassen sich sämtliche Verhältnisse der kleinen Halbachsen geometrisch erfassen (im inneren Planetensystem tritt noch für eine Hilfskonstruktion das Sechseck hinzu):

Mit geeigneten statistischen Methoden läßt sich nachweisen, daß die Wahrscheinlichkeit für die zufällige Bevorzugung von Proportionen, die sich aus diesen einfachen Konstruktionsprinzipien ergeben, äußerst gering ist (< 1:100.000). Zudem läßt sich auch die Sonne (über ihren Durchmesser) in diese Darstellungsweise einbeziehen. Am erstaunlichsten ist aber vielleicht, daß die angeführten Proportionen genau jene sind, die in den Flächenverhältnissen eines Zwölfsterns auftreten.

Johannes Keplers Grundidee, daß in unserem Sonnensystem eine besondere geometrische Ordnung vorhanden ist, hat sich damit, wenn auch in abgewandelter Form, auf das Schönste bestätigt. Das umfassendere Ziel seiner „Harmonice Mundi“ (Weltharmonik) aus dem Jahre 1618 bestand darin aufzuzeigen, daß die Grundlagen von Geometrie, musikalischer Harmonie und Astronomie im wesentlichen eins sind oder, anders formuliert, die unterschiedlichen Seinsbereiche von den gleichen schöpferischen Prinzipien durchwirkt werden. Das, was die Welt im Innersten zusammenhält, sind für Kepler letztlich geometrische Urbilder: göttliche Gedanken, die dem Aufbau der Musik und des Kosmos zugrunde liegen. In der menschlichen Seele sind sie ebenfalls als Archetypen verankert, wodurch es uns erst möglich wird, die Harmonie in den verschiedenen Bereichen zu erkennen und miteinander in Beziehung zu setzen.

3. Spiel der Bewegungen

Auf dieses umfassende Thema wird in dem Buch “Die Signatur der Sphären” ausführlich eingegangen. Um diesen Vortrag abzurunden, soll hier aber zumindest ein Beispiel vorgestellt werden, das zudem frappierende Zusammenhänge zu der behandelten geometrischen Anordnung aufweist. Die Bewegungsbeziehung von jeweils drei Planeten läßt sich auf mehrere Weisen geometrisch abbilden. Dabei werden jetzt z.B. aus der Sicht eines der drei Wandelsterne die Stellungen des zweiten fortlaufend aufgetragen, wenn dieser eine Konjunktion mit dem dritten hat (eine prinzipiell gleichartige Figurenbildung entsteht auch heliozentrisch). Somit erhält man gleichsam geometrische Gesamtbilder der gravitativen Wechselwirkungen zwischen je drei Planeten. In der Vielzahl der möglichen Konstellationen aller neun Planeten des Sonnensystems treten erstaunlicherweise alle Zahlen bis zur Zwölf genau einmal auf. Die wohl eindrucksvollste Gestaltbildung ergibt sich in dem Verhältnis der drei massivsten Planeten Jupiter, Saturn und Neptun. Ihr Zusammenwirken ist für die Langzeitstabilität des Gesamtsystems von besonderer Bedeutung.

Im äußeren Planetensystem, im Raum, der an die Sterne mit ihren Tierkreiszeichen grenzt, wird somit die von alters her und in verschiedenen Kulturen dem Himmel in der einen wie der anderen Bedeutung zugeordnete Symbolzahl vor unser Auge und unseren Sinn gestellt. In heliozentrischer Sichtweise ergäbe sich auch in diesem Fall eine nach der Zahl Zwölf geordnete, wenngleich nicht ganz so ausdrucksstarke Sternfigur. In der dargestellten planetozentrischen Graphik zeichnen die Verbindungslinien der Planetenpostionen zwei Sechsecke, die Abfolge der Stellungen selbst ordnet sich – wie von Zauberhand geführt – in drei viereckigen sternähnlichen Gebilden an. Diese Einzelfigur nennt man Astroide. Drei Astroiden verweben sich zu einem Zwölfstern und zusammen mit den Linien-Figuren entsteht ein geometrischer Ausdruck der Vollkommenheit, der fast wie Musik in das menschliche Innere zu dringen vermag. Der Zwölfstern kann somit als ein Archetypus im Sinne Johannes Keplers bezeichnet werden, der sowohl der Anordnung der Planeten als auch ihren Bewegungsbeziehungen zugrunde liegt. Mit einem Kepler-Zitat soll daher auch dieser Vortrag geschlossen werden. „Doch wozu viele Worte? Die Geometrie, vor der Entstehung der Dinge von Ewigkeit her zum göttlichen Geist gehörig …, hat Gott die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert und mit dem Bild Gottes ist sie in den Menschen übergegangen, also nicht erst durch die Augen in das Innere aufgenommen worden.”

Johannes Kepler, Weltharmonik, S. 214